柯西不等式

时间: 2024-12-02 15:26:50

柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中一个重要的不等式，尤其在解析几何、线性代数和概率论等领域中有广泛的应用。它的基本形式可以用向量的内积表示如下：

如果有两个实数列 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 和 $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$，则柯西不等式表述为：

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)$

等号成立的条件是，当且仅当向量 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 和 $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ 成正比例时。

应用示例

1. 几何学：在几何中，柯西不等式可以用来证明许多性质，例如三角形的边长关系。

2. 概率论：在统计学中，它用来证明随机变量的期望和方差的关系。

3. 分析学：因其关系到内积空间，因此在功能分析中经常用到。

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