《自然哲学的数学原理》论所受阻力部分正比于速度、部分正比于速度平方时物体的运动

时间: 2025-01-18 13:21:21

在《自然哲学的数学原理》中，牛顿在分析物体运动时考虑了不同类型的阻力。当物体在流体中运动时，所受的阻力可以由两部分组成：一部分与速度 $v$ 成正比（通常是线性阻力），另一部分与速度的平方 $v^2$ 成正比（通常是非线性阻力）。

设物体所受的总阻力 $F_d$ 可以表示为：

$F_d = -kv - m v^2$

其中：

- $k$ 是与流体特性及物体形状相关的常数（线性阻力项），

- $m$ 是与流体特性及物体形状相关的常数（平方阻力项），

- 负号表示阻力方向与物体的运动方向相反。

根据牛顿第二定律，物体的加速度 $a$ 与所受的合力 $F_{net}$ 之间的关系为：

$F_{net} = ma$

在考虑重力和阻力的情况下，若以重力作为下向力并忽略其他外力，可以写成：

$ma = mg - F_d$

代入阻力表达式，我们得到：

$ma = mg - (-kv - mv^2) \implies ma = mg - kv - mv^2$

我们可以将上述等式重新排列为：

$ma = mg - kv - mv^2$

$ma + kv + mv^2 = mg$

可以将加速度 $a$ 表示为速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数：

$a = \frac{dv}{dt}$

因此，上述方程可以写为：

$m \frac{dv}{dt} + kv + mv^2 = mg$

将方程变为分离变量的形式：

$m \frac{dv}{mg - kv - mv^2} = dt$

该方程形式比较复杂，但通过适当的代入和简化可以进行积分。为了便于分离和处理，我们可以重新整理，使其适合进行积分：

$\frac{dv}{mg - kv - mv^2} = \frac{1}{m} dt$

通过该积分，我们可以得到物体速度随时间变化的方程。虽然直接解析解较为复杂，通常我们会使用数值方法或者在特定条件下进行近似求解。一般情况下，反应阻力的部分ahr通常给出指数衰减的形式。

若忽略加速度变化而假设物体在某一速度下达到平衡，设加速度为零：

$0 = mg - kv_t - mv_t^2$

这时：

$mg = kv_t + mv_t^2$

整理可以得到终端速度 $v_t$ 的表达式：

$mv_t^2 + kv_t - mg = 0$

这是一个二次方程，可以使用求根公式求解：

$v_t = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 + 4mgm}}{2m}$

选择正根，即为物体在无论流体阻力的情况下达到的终端速度。

在实际运动过程中，物体起始时可能快速加速，随着速度增加，线性和平方阻力持续增大，最终物体的加速减小，直到减速至终端速度并保持恒定运动状态。

在《自然哲学的数学原理》中虽然牛顿没有专门讨论线性与平方阻力共同作用下的物体运动，但根据他的运动法则，我们可以推导出相关的运动方程。此类分析在流体动力学以及工程应用中非常有用。如果你对这个主题有更具体的问题或想深入探讨的方面，请随时告诉我！