黎曼猜想
时间: 2025-02-13 21:11:32
黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年在论文《论小于给定数值的素数个数》中提出，是关于黎曼ζ函数ζ(s)零点分布的猜想。其核心内容是：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都分布在复平面上一条被称为临界线（实部为1/2的直线）的特殊直线上 。也可以表述成，黎曼泽塔函数的零点要么是负偶数（平凡零点），要么是实部为1/2的复数（非平凡零点）。
自黎曼猜想提出以来，众多数学家为之努力探索，取得了一些阶段性成果，但至今尚未被完全证明：
- 早期重要进展：
- 1896年，法国数学家雅克·阿达马和Charles Jean de la Vallée - Poussin分别独立证明了在某些直线上没有零点，显示了所有不平凡零点一定处于区域某个上，这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
- 1914年，英国数学家高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在临界线上。后来哈代与英国数学家约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作则是计算零点在临界线上的平均密度。
- 现代的尝试与突破：
- 2018年9月24日 ，著名数学家迈克尔·阿蒂亚爵士在海德堡获奖者论坛的演讲中公布他对黎曼猜想的证明思路。其灵感来源于对物理学中精细结构常数的推演，结合了冯·诺依曼等科学家的早前理论，还引入新的TODD函数作为证明核心。但有同行表示新函数定义不明确，且他当天演讲未解释全部证明工作。
- 2024年，MIT数学教授Larry Guth和牛津大学数学研究所教授、菲尔兹奖得主James Maynard取得新突破。他们对黎曼zeta函数零点的经典1940年Ingham界限进行了首次实质性改进（更广泛地说，是控制各种狄利克雷级数的大值）。不过，数学家陶哲轩表示，尽管这是显著突破，但距离完全解决黎曼猜想还有很大距离。
黎曼猜想在数学领域意义重大，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。若猜想被证明，这些命题将被确立为定理，对数学领域产生深远影响；若被证明错误，这些命题中的一部分也将失去其有效性。