关于火箭运动的物理题

时间: 2025-04-05 14:57:10

这是一道关于火箭运动的物理题。

题目内容

已知火箭净质量为$M_{f}$ ，算上燃料后质量为$M_{0}$ ，发动机将燃料以相对于火箭$v_{r}$的速度喷射出去，火箭从静止开始加速，不考虑重力，求火箭能达到的最大速度$v_{f}$ ，并给出了$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$的提示 。

解析过程

1. 运用动量定理列方程：取$x$轴平行于火箭轨道指向运动前方，以火箭和喷出的燃料为系统。在极短时间$dt$内，根据动量定理列出方程$[M - |dM|](v + dv)+|dM|(u)- Mv = Fdt$ ，整理并略去二阶小量后得到$M\frac{dv}{dt}=(u - v)\frac{dM}{dt}+F$ ，其中$\frac{dM}{dt}<0$ 。这里$M$是火箭在某时刻的质量，$dv$是速度增量，$dM$是燃料质量的变化量，$u$是燃料相对地面速度，$F$是外力 。

2. 化简方程：因为不考虑重力即$F = 0$ ，且$u = v - v_{r}$（燃料相对火箭速度为$v_{r}$ ），代入上式得到$M\frac{dv}{dt}=-v_{r}\frac{dM}{dt}$ ，进一步整理为$dv=-v_{r}\frac{dM}{M}$ 。

3. 积分求解：对$dv=-v_{r}\frac{dM}{M}$两边积分，积分下限是火箭初始状态$t = 0$ 时，$v = 0$ ，质量为$M_{0}$ ；积分上限是燃料用完时，$v = v_{f}$ ，质量为$M_{f}$ ，即$\int_{0}^{v_{f}}dv=-v_{r}\int_{M_{0}}^{M_{f}}\frac{dM}{M}$ 。根据积分公式计算得出$v_{f}=v_{r}\ln\frac{M_{0}}{M_{f}}$ 。