环面的基本群与Van Kampen定理

时间: 2025-04-09 19:05:24

环面的基本群与Van Kampen定理

1. 环面的基本群

环面 $ T^2 $ 的基本群是自由交换群 $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $，即：

$\pi_1(T^2) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

几何解释：环面有两条独立的非收缩环路（经圈 $ a $ 和纬圈 $ b $），它们可交换（$ ab = ba $），生成元 $ a $ 和 $ b $ 对应两个 $ \mathbb{Z} $ 分量。

2. 用Van Kampen定理计算

将环面 $ T^2 $ 分解为两个开集 $ U $ 和 $ V $：

- $ U $：挖去一个“小圆盘”的环面，形变收缩至楔和的两圆（$ S^1 \vee S^1 $），基本群为自由群 $ \langle a, b \rangle $。

- $ V $：小圆盘内部，可收缩，基本群平凡。

- $ U \cap V $：环形邻域，同伦等价于 $ S^1 $，基本群为 $ \mathbb{Z} $，生成元 $ c $ 对应小圆盘的边界。

应用Van Kampen定理：

$\pi_1(T^2) \cong \langle a, b \rangle *_{\mathbb{Z}} \{e\} = \langle a, b \mid c = e \rangle$

其中 $ c $ 在 $ U $ 中对应 $ aba^{-1}b^{-1} $（因环面的经圈和纬圈交换），故关系为 $ aba^{-1}b^{-1} = e $，即 $ ab = ba $。因此：

$\pi_1(T^2) \cong \langle a, b \mid ab = ba \rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

总结：

环面的基本群由两个交换的生成元构成，几何上对应其经圈和纬圈的自由交换性，通过Van Kampen定理将空间分解后，由粘合关系导出交换性，最终得到 $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $。