环面的基本群的计算

时间: 2025-04-09 19:08:31

计算环面 $ T^2 $ 的基本群 $ \pi_1(T^2) $ 可以通过 Van Kampen 定理 来实现。以下是详细步骤：

环面 $ T^2 $ 可以表示为：

- 正方形对边粘合：将单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 的左右边 $ (0,y) \sim (1,y) $ 和上下边 $ (x,0) \sim (x,1) $ 粘合，得到环面。

- 楔和两个圆周：环面可以收缩为一个 8 字形图（wedge of two circles），其基本群是自由群 $ F_2 = \langle a, b \rangle $，但环面比 8 字形多了一个关系 $ ab = ba $。

Van Kampen 定理 适用于空间 $ X = U \cup V $，其中：

- $ U, V $ 是 $ X $ 的开集，且 $ U \cap V $ 路径连通，

- 计算方式：

$ \pi_1(X) \cong \pi_1(U) * \pi_1(V) \, / \, N $

其中 $ N $ 是由 $ \pi_1(U \cap V) $ 在 $ \pi_1(U) $ 和 $ \pi_1(V) $ 中的像生成的正规子群。

对环面的分解：

取：

- $ U $ = 环面去掉一个开圆盘 $ D^2 $，形变收缩至 8 字形（wedge of two circles），其基本群为自由群 $ \langle a, b \rangle $。

- $ V $ = 开圆盘 $ D^2 $，可收缩，基本群平凡 $ \pi_1(V) = 1 $。

- $ U \cap V $ = 环形区域，同伦等价于 $ S^1 $，基本群 $ \pi_1(U \cap V) = \mathbb{Z} $，生成元 $ c $ 对应边界环路。

应用 Van Kampen 定理：

- $ \pi_1(U) = \langle a, b \rangle $（自由群，生成元对应环面的两个独立环路）。

- $ \pi_1(V) = 1 $。

- $ \pi_1(U \cap V) = \langle c \rangle \cong \mathbb{Z} $。

由于 $ U \cap V $ 是 $ U $ 的边界环路，它在 $ U $ 中的像对应 交换关系 $ aba^{-1}b^{-1} $（因为环面的两个生成环路是可交换的），即：

$c = aba^{-1}b^{-1}$

但 $ V $ 是单连通的，所以 $ c $ 在 $ V $ 中坍缩为 1。因此，Van Kampen 定理给出：

$\pi_1(T^2) \cong \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1 \rangle = \langle a, b \mid ab = ba \rangle$

这正好是 自由交换群 $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $。

- 生成元：$ a $ 和 $ b $ 分别对应环面的经圈和纬圈：

- $ a $：绕环面“长方向”的环路。

- $ b $：绕环面“短方向”的环路。

- 关系 $ ab = ba $：在环面上，先绕 $ a $ 再绕 $ b $，与先绕 $ b $ 再绕 $ a $，得到的环路是同伦等价的（可以连续变形得到彼此）。

环面的基本群是 两个自由生成元的交换群，即：

$\pi_1(T^2) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

这反映了环面的两个独立不可收缩的环路，并且它们可以交换顺序而不改变同伦类。