伯努利数|幂和公式

时间: 2025-04-10 06:38:47

伯努利数（Bernoulli numbers）是一组在数学中具有广泛应用的有理数序列，尤其在数论、组合数学和解析数论中扮演重要角色。以下是关于伯努利数的详细总结：

1. 定义

伯努利数 $ B_n $ 可以通过多种方式定义，常见的有：

- 生成函数定义：

$\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{t^n}{n!} \quad (|t| < 2\pi)$

其中，$ B_n $ 是第 $ n $ 个伯努利数。

- 递归定义：

$B_0 = 1, \quad \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k} B_k = 0 \quad (n \geq 1)$

例如：

$B_1 = -\frac{1}{2}, \quad B_2 = \frac{1}{6}, \quad B_4 = -\frac{1}{30}, \quad B_6 = \frac{1}{42}, \ldots$

注：所有奇数项 $ B_{2n+1} = 0 $（对 $ n \geq 1 $）。

2. 前几项伯努利数

3. 关键性质

- 奇数项：对 $ n \geq 1 $，有 $ B_{2n+1} = 0 $。

- 符号交替：偶数项 $ B_{2n} $ 的符号交替变化（从 $ B_2 $ 开始为正、负、正…）。

- 有理数性：所有伯努利数均为有理数。

- 与黎曼ζ函数的关系：

$B_{2n} = (-1)^{n+1} \frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \zeta(2n)$

例如 $ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $, $ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} $。

4. 应用

- 幂和公式：

$\sum_{k=1}^{N} k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j} B_j N^{p+1-j}$

例如 $ \sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2} $。

- 欧拉-麦克劳林公式：

用于数值积分和级数渐近展开：

$\sum_{k=a}^{b} f(k) \approx \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!} \left( f^{(2n-1)}(b) - f^{(2n-1)}(a) \right)$

- 解析数论：出现在模形式、$ p $-进分析和费马大定理的相关研究中。

5. 其他变体

- 第一类与第二类伯努利数：通常定义的 $ B_n $ 为第一类；第二类（如 $ B_n(1) $）用于多项式推广。

- 伯努利多项式：

$B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k x^{n-k}$

满足 $ \int_x^{x+1} B_n(t) \, dt = x^n $。

6. 历史背景

由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在研究幂和公式时引入，后由欧拉、库默尔等数学家深化研究。

如果需要具体计算某类问题（如幂和或数值近似），可以进一步探讨伯努利数的应用示例！