幂和公式（也称为幂和恒等式或幂和定理）用于计算自然数幂的和

时间: 2025-04-10 06:41:08

幂和公式（也称为幂和恒等式或幂和定理）用于计算自然数幂的和。常见的幂和公式包括：

1. 一次幂和（等差数列求和）： $\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

2. 二次幂和： $\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 三次幂和： $\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

4. 一般幂和（Faulhaber公式）： 对于任意正整数 ( p )，幂和可以表示为： $\sum_{k=1}^n k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p \binom{p+1}{j} B_j n^{p+1-j}$ 其中 $ B_j $ 是伯努利数。

如果需要更高次的幂和公式或具体推导，可以进一步探讨！