Faulhaber公式
时间: 2025-04-10 06:44:48
Faulhaber 公式（也称为 伯努利幂和公式）给出了自然数前 ( n ) 项的 ( p ) 次幂和的一般表达式：
$\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + \cdots + n^p$
公式表述
对于任意正整数 ( p )，幂和可以表示为： $\sum_{k=1}^n k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p \binom{p+1}{j} B_j , n^{p+1-j}$ 其中：
( B_j ) 是 伯努利数（Bernoulli numbers），定义 ( $B_0 = 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, \dots$ )。
( $\binom{p+1}{j}$ ) 是二项式系数。
低次幂示例
( p = 1 )（一次幂和）： $\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} \left( n^2 + n \right) = \frac{n(n+1)}{2}$
( p = 2 )（二次幂和）： $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
( p = 3 )（三次幂和）： $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{4} n^4 + \frac{1}{2} n^3 + \frac{1}{4} n^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$
推导思路
Faulhaber 公式的推导通常基于 生成函数 或 数学归纳法，并利用 伯努利多项式 的性质。核心思想是将幂和表示为多项式，并利用伯努利数的递推关系。
应用
计算高次幂和（如 ( $\sum k^4, \sum k^5$ ) 等）。
在 数值分析 和 组合数学 中有重要应用。
与 欧拉-麦克劳林公式 相关，用于积分近似。
如果需要具体推导或更高次幂的展开式，可以进一步讨论！
