x^2+y^2=9，y/(x+5)的最值

时间: 2025-04-19 17:16:39

好的，您想求解在约束条件 $x^2 + y^2 = 9$ 下，$z = \frac{y}{x+5}$ 的最大值和最小值。

这个问题可以使用多种方法解决，例如：

1. 三角换元法:令 $x = 3\cos\theta$，$y = 3\sin\theta$。代入 $z$ 的表达式中，然后利用三角函数的性质求解最值。

2. 拉格朗日乘数法:构建拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = \frac{y}{x+5} - \lambda(x^2 + y^2 - 9)$，然后求解偏导数等于零的方程组。

3. 几何意义:将 $z = \frac{y}{x+5}$ 变形为 $y = z(x+5)$，这表示过点 $(-5, 0)$ 的斜率为 $z$ 的直线。由于点 $(x, y)$ 在圆 $x^2 + y^2 = 9$ 上，所以这条直线必须与圆有交点。因此，问题转化为求解过点 $(-5, 0)$ 且与圆相切的直线的斜率。

哪种方法您希望我详细讲解？或者您想直接知道答案？