sqrt(x^2+8x+32) - sqrt(x^2+1) max

时间: 2025-04-21 08:06:22

我们需要最大化以下函数：

$f(x) = \sqrt{x^2 + 8x + 32} - \sqrt{x^2 + 1}$

1. 完全平方化

首先，对第一个平方根项进行完全平方化：

$x^2 + 8x + 32 = (x + 4)^2 + 16$

因此，原函数可以写为：

$f(x) = \sqrt{(x + 4)^2 + 16} - \sqrt{x^2 + 1}$

2. 计算导数

为了找到极值点，我们对 $f(x)$ 求导数。

设：

$u = (x + 4)^2 + 16, \quad v = x^2 + 1$

则：

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} - \sqrt{v} \right)$

利用链式法则：

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{d}{dx} u - \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{d}{dx} v$

计算各自的导数：

$\frac{d}{dx} u = 2(x + 4), \quad \frac{d}{dx} v = 2x$

因此，导数为：

$f'(x) = \frac{(x + 4)}{\sqrt{(x + 4)^2 + 16}} - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 解导数为零的方程

为了找到极值点，我们解方程：

$\frac{(x + 4)}{\sqrt{(x + 4)^2 + 16}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

两边平方：

$\frac{(x + 4)^2}{(x + 4)^2 + 16} = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

交叉相乘并整理：

$(x + 4)^2 (x^2 + 1) = x^2 \left( (x + 4)^2 + 16 \right)$

展开并简化：

$(x^2 + 8x + 16)(x^2 + 1) = x^2(x^2 + 8x + 32)$

继续展开并整理：

$x^4 + 8x^3 + 16x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^4 + 8x^3 + 32x^2$

合并同类项：

$x^4 + 8x^3 + 17x^2 + 8x + 16 = x^4 + 8x^3 + 32x^2$

移项：

$17x^2 + 8x + 16 = 32x^2$

整理：

$-15x^2 + 8x + 16 = 0$

这是一个二次方程，解得：

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-15)(16)}}{2(-15)}$

计算判别式：

$\Delta = 8^2 - 4(-15)(16) = 64 + 960 = 1024$

因此：

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{1024}}{-30} = \frac{-8 \pm 32}{-30}$

解得：

$x = \frac{-8 + 32}{-30} = \frac{24}{-30} = -\frac{4}{5}, \quad x = \frac{-8 - 32}{-30} = \frac{-40}{-30} = \frac{4}{3}$

4. 验证极值类型

我们可以通过二阶导数或直接代入值的方法来验证这两个点是否为极大值。

5. 计算最大值

代入 $x = \frac{4}{3}$ 到原函数中：

$f\left( \frac{4}{3} \right) = \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right)^2 + 8 \cdot \frac{4}{3} + 32} - \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right)^2 + 1}$

计算得：

$f\left( \frac{4}{3} \right) = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 32} - \sqrt{\frac{16}{9} + 1}$

继续计算：

$f\left( \frac{4}{3} \right) = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{96}{9} + \frac{288}{9}} - \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{9}{9}}$

整理：

$f\left( \frac{4}{3} \right) = \sqrt{\frac{400}{9}} - \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{20}{3} - \frac{5}{3} = \frac{15}{3} = 5$

因此，函数的最大值为：

$5$