开普勒第二定律V1R1=V2R2推导

时间: 2025-04-23 18:20:31

开普勒第二定律简介

开普勒第二定律，也称为面积定律，指出：在行星绕太阳的椭圆轨道运动中，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这意味着行星在离太阳较近时运动速度较快，而在离太阳较远时运动速度较慢。

推导开普勒第二定律

为了推导开普勒第二定律，我们可以从角动量守恒的角度出发。以下是详细的推导步骤：

1. 极坐标下的位置和速度

考虑太阳位于椭圆的一个焦点，行星的位置可以用极坐标 $(r, \theta)$ 表示，其中 $r$ 是行星到太阳的距离，$\theta$ 是角度。

行星的位置矢量可以表示为：

$ \mathbf{r} = r \hat{r} $

其中，$\hat{r}$ 是径向单位矢量。行星的速度 $\mathbf{v}$ 是位置矢量的时间导数：

$ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \hat{r} + r \frac{d\theta}{dt} \hat{\theta} $

其中，$\hat{\theta}$ 是横向单位矢量（垂直于 $\hat{r}$）。

2. 角动量的定义

角动量 $\mathbf{L}$ 定义为：

$ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times (m \mathbf{v}) $

其中，$m$ 是行星的质量，$\mathbf{p}$ 是动量。

计算叉积：

$ \mathbf{L} = r \hat{r} \times m \left( \frac{dr}{dt} \hat{r} + r \frac{d\theta}{dt} \hat{\theta} \right) $

由于 $\hat{r} \times \hat{r} = 0$ 和 $\hat{r} \times \hat{\theta} = \hat{z}$（垂直于轨道平面的单位矢量），所以：

$ \mathbf{L} = m r^2 \frac{d\theta}{dt} \hat{z} $

因此，角动量的大小为：

$ L = m r^2 \frac{d\theta}{dt} $

3. 角动量守恒

在中心力场（如万有引力）中，力始终指向中心（太阳），因此力矩 $\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0$（因为 $\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{r}$ 同向或反向）。根据角动量定理：

$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{\tau} = 0 $

所以角动量 $\mathbf{L}$ 守恒，即 $L$ 为常数。

4. 面积速度的定义

单位时间内扫过的面积称为面积速度。在极坐标中，无限小时间内扫过的面积 $dA$ 可以近似为一个三角形：

$ dA = \frac{1}{2} r \cdot r d\theta = \frac{1}{2} r^2 d\theta $

因此，面积速度为：

$ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt} $

5. 面积速度与角动量的关系

从角动量的表达式：

$ L = m r^2 \frac{d\theta}{dt} $

可以解出：

$ r^2 \frac{d\theta}{dt} = \frac{L}{m} $

因此：

$ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \frac{L}{m} $

由于 $L$ 和 $m$ 都是常数，所以 $\frac{dA}{dt}$ 也是常数。这意味着单位时间内扫过的面积是恒定的，这正是开普勒第二定律的内容。

总结

通过角动量守恒，我们证明了行星在绕太阳运动时，其与太阳的连线在单位时间内扫过的面积是恒定的。这是开普勒第二定律的核心内容。具体步骤如下：

1. 在极坐标下表示行星的位置和速度。

2. 计算角动量并证明其在中心力场中守恒。

3. 定义面积速度并展示其与角动量的关系。

4. 得出面积速度为常数的结论，从而验证开普勒第二定律。

数学表达

开普勒第二定律的数学表达为：

$ \frac{dA}{dt} = \text{常数} $

或

$ r^2 \frac{d\theta}{dt} = \text{常数} $

这反映了行星在轨道运动中的角动量守恒。