sin(x) + sin(y) = 1 的情况下，cos(x) + cos(y) 的范围要求

时间: 2025-04-23 18:51:48

解题过程

用户询问关于等式 sin(x) + sin(y) = 1 的情况下，cos(x) + cos(y) 的范围要求。用户明确要求不引用外部资源，只需要给出文本过程并包含公式。因此，我不需要使用引用或浏览器工具，而直接进行计算。

首先，通过三角恒等式简化：sin(x) + sin(y) = 1 可推得 x 和 y 的值要满足特定范围，进而算出 cos(x) + cos(y) 的取值范围。

解题过程

用户明确要求不引用，所以我将直接给出推导过程。首先，以 sin(x) + sin(y) = 1 为条件，使用和差化积公式，可以得出 cos(x) + cos(y) 的表达式为 cot(A)，其中 A = (x + y)/2。根据 |sin(A)| >= 1/2，可以求得 cot(A) 的取值范围。当 sin(A) = ±1/2 时，cot(A) 可取 ±√3 的值。因此，cos(x) + cos(y) 的范围为 [−√3, √3]。

已思考 10 秒

以下给出纯文本的推导过程（含必要公式），最终得出

$$\cos x + \cos y\;\in\;[-\sqrt3,\;\sqrt3].$$

1. 变量代换

令

$$S = \frac{x+y}{2},\quad D = \frac{x-y}{2}.$$

则

$$\sin x + \sin y = 2\sin S\cos D = 1.$$

2. 求出 $\cos D$ 的表达式

由上式得

$$\cos D = \frac{1}{2\sin S}.$$

因为 $|\cos D|\le1$，所以

$$\bigl|\tfrac1{2\sin S}\bigr|\le1 \quad\Longrightarrow\quad |\sin S|\ge\tfrac12.$$

3. 用化积公式表示 $\cos x + \cos y$

同样地，

$$\cos x + \cos y = 2\cos S\cos D = 2\cos S\;\frac{1}{2\sin S} = \frac{\cos S}{\sin S} = \cot S.$$

4. 确定 $\cot S$ 的取值范围

由于 $|\sin S|\ge\tfrac12$，$S$ 必落在每个周期内

$$\sin S\in[\,\tfrac12,1\,]\quad\cup\quad[\, -1,-\tfrac12\,].$$

在这两段区间上，$\cot S=\cos S/\sin S$ 的最大值出现在 $\sin S=\tfrac12,\cos S=\tfrac{\sqrt3}{2}$ 时，为

$$\cot S = \frac{\sqrt3/2}{1/2} = \sqrt3,$$

最小值出现在 $\sin S=\tfrac12,\cos S=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 或 $\sin S=-\tfrac12,\cos S=\tfrac{\sqrt3}{2}$ 时，为

$$\cot S = -\sqrt3.$$

随着 $\sin S$ 在这两段区间内变化，$\cot S$ 连续取遍

$$[-\sqrt3,\;\sqrt3].$$

结论：

$$\boxed{{\displaystyle \cos x+\cos y\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]\mathrm{.}}}$$