sin(x) + sin(y) = 1 的情况下，cos(x) + cos(y) 的范围要求(2)

时间: 2025-04-23 19:05:04

以下是通过展开 $(\sin x + \sin y)^2$ 和 $(\cos x + \cos y)^2$ ，并结合三角函数的平方关系来求解 $\cos x + \cos y$ 的取值范围的详细步骤，包含对比分析。

根据完全平方公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ，我们可以分别展开两个式子：

$(\sin x + \sin y)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y$ $(\cos x + \cos y)^2 = \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y$

将上述两个展开式相加得到：

$(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y)$

根据三角函数的平方关系 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ ，可以简化为：

$(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = 1 + 1 + 2 \cos(x - y)$

即：

$(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = 2 + 2 \cos(x - y)$

已知 $\sin x + \sin y = 1$ ，所以 $(\sin x + \sin y)^2 = 1$ ，代入上式得到：

$1 + (\cos x + \cos y)^2 = 2 + 2 \cos(x - y)$

移项得到：

$(\cos x + \cos y)^2 = 1 + 2 \cos(x - y)$

因为 $-1 \le \cos(x - y) \le 1$ ，我们将此不等式乘以 2 得到：

$-2 \le 2 \cos(x - y) \le 2$

再在不等式两边同时加 1：

$-2 + 1 \le 1 + 2 \cos(x - y) \le 2 + 1$

即：

$-1 \le 1 + 2 \cos(x - y) \le 3$

因此：

$0 \le (\cos x + \cos y)^2 \le 3$

对不等式 $0 \le (\cos x + \cos y)^2 \le 3$ 两边同时开平方，得到：

$-\sqrt{3} \le \cos x + \cos y \le \sqrt{3}$

$\boxed{\cos x + \cos y \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]}$

步骤方法对比：
与之前通过和差化积公式、以及 $\cot S$ 方式的推导结果一致，都得出了 $\cos x + \cos y$ 的取值范围为 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ 。
过程差异：

在此方法中，通过对 $(\sin x + \sin y)^2$ 和 $(\cos x + \cos y)^2$ 的展开，结合三角恒等式进行处理，避免了直接求解 $\cot$ 或 $\cos$ 计算，侧重于代数化简。
虽然方式不同，最终结果是相同的。

总结来说，这种展开式与平方关系的推导方法是一种有效的计算路径，简洁且直观。