利用极限关系近似计算 1.01的200次方 的过程(2)

时间: 2025-05-09 07:25:13

要利用极限关系 $ (1+x)^{1/x} \approx e $（当 $ x \to 0 $）来近似计算 $ 1.01^{200} $，可按以下步骤推导：

1. 变量代换

设 $ x = 0.01 $，则 $ 1.01^{200} = (1+x)^{200} = \left[(1+x)^{1/x}\right]^{x \cdot 200} $。

当 $ x \to 0 $，有 $ (1+x)^{1/x} \approx e $，因此：

$ 1.01^{200} \approx e^{0.01 \times 200} = e^{2} \approx 7.389 $

但此结果与精确值 $ 7.316 $ 存在误差（约 1%），因 $ x=0.01 $ 虽小但未严格趋于 0。

2. 高阶修正

考虑泰勒展开 $ \ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} $，则：

$ (1+x)^{1/x} = e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} \approx e^{1 - \frac{x}{2}} = e \cdot e^{-x/2} $

代入 $ x=0.01 $ 得：

$ (1.01)^{100} \approx e \cdot e^{-0.005} \approx 2.718 \times 0.995 \approx 2.705 $

再平方得到 $ 1.01^{200} \approx 2.705^2 \approx 7.317 $，更接近真实值。

3. 误差分析

直接使用 $ e^2 $ 的误差源于忽略 $ x $ 的高阶项。修正后误差显著降低，验证了 $ e^{2 - 0.01} = e^{1.99} \approx 7.316 $ 的合理性。

结论：

- 简单近似 $ e^2 \approx 7.389 $ 误差较大；

- 引入一阶修正后 $ e^{1.99} \approx 7.316 $，与精确值一致。

推荐使用修正公式 $ e^{x \cdot n - \frac{x^2 n}{2}} $ 提升精度（此处 $ x=0.01 $，$ n=200 $）。