前 n 个自然数的立方和公式

时间: 2025-05-12 09:36:19

前 $n$ 个自然数的立方和公式为：

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

也就是说：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$$

这是一个非常漂亮的结果：前 n 个数的立方和，等于前 n 个数和的平方。

【一】先看前几个具体例子

验证一下这个公式对小数值是否成立：

• $1^3 = 1 = \left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$

• $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = \left(\frac{2(2+1)}{2}\right)^2 = 3^2 = 9$

• $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = (6)^2$

• $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = (10)^2$

成立。

【二】公式的推导（经典代数推导）

我们先回忆前 n 个自然数的平方和公式：

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

我们目标是要推导立方和，即：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = ?$$

下面给出一种比较经典的归纳法证明。

【三】用数学归纳法证明该公式成立

1. 定义公式为：

$$S(n) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

2. 基础步骤（验证 n=1）：

$$S(1) = 1^3 = 1$$$$\left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{2}{2} \right)^2 = 1^2 = 1$$

成立。

3. 归纳假设：

假设对某个正整数 $n = k$ 成立，即：

$$S(k) = \sum_{i=1}^{k} i^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2$$

4. 归纳证明：证明对 $n = k+1$ 成立

$$S(k+1) = S(k) + (k+1)^3$$

根据归纳假设：

$$S(k+1) = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3$$

我们将它化简：

$$S(k+1) = (k+1)^2 \left( \left( \frac{k}{2} \right)^2 + (k+1) \right)$$$$= (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + (k+1) \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = (k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)^2}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2$$

得证公式对 $k+1$ 也成立。

【四】最终结论

所以我们得出：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

这个公式背后的含义是：立方和，其实就是“等差数列求和公式”的平方。

需要我用图形方式帮助你更直观理解这个立方和的几何意义吗？