“错位相减法”或“利用差分和错位相加消元法” 立方和

时间: 2025-05-12 09:40:52

非常好！你说的这个方法确实存在，而且是一种经典的推导方式，叫做“错位相减法”或“利用差分和错位相加消元法”。这类方法不依赖待定系数，而是用多个结构相似的等式，通过加减法“消掉某些项”，推导出结果。

🎯 目标公式

我们想推导的是：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

🧠 方法：错位相加法（列两式相减消元）

这个方法的关键是：构造两个相似的和式，然后用它们相减或相加，观察能不能把复杂项“对消”，进而提取公式。

🌟 具体推导如下（精华来了）：

我们先从一个已知公式出发：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$$

我们知道：

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

所以如果我们能证明：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$$

就等价于推导出原公式。

✨ 正式推导：利用错位消元法

我们利用两个恒等式的差，消掉高次项。

先观察以下两个公式：

1. 平方和公式：

   $$(1 + 2 + \cdots + n)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij$$

   也就是，把前 $n$ 个自然数之和的平方，展开成双重求和。

2. 我们知道双重求和中，每一项 $ij$ 都是正数：

   $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \left( \sum_{j=1}^{n} j \right) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

   这一步其实会回到：

   $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$$

但你说的“构造多个式子并错位加减”方法，更直观的一种是这样（如下）：

🔄 利用错位法推导（经典构造差法）

我们设：

$$S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$$

我们考虑先求出：

$$S(n) = (1 + 2 + \cdots + n)^2$$

即：

$$S(n) = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

那么我们直接把等差和平方展开：

$$\left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij = \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} ij \right)$$

把这换个顺序看：

• 每次相乘 $ij$，会出现 $n^2$ 个项；

• 当 $i = j$，即 $i^2$，正好是平方和；

• 而对于 $i \ne j$，成对出现的 $ij$ 加起来，就是对称乘积。

但关键点是：你可以认为：

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij = \sum_{k=1}^{n} k^3$$

这其实是一个“组合意义的”错位推导。

💡 更直观的推导思路：利用和差展开

我们也可以使用一个构造式子的方法：

Step 1: 考虑差分

我们已知：

$$(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$$

现在对 $k$ 从 1 到 $n$ 求和：

$$\sum_{k=1}^{n} [(k+1)^4 - k^4] = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1)$$

左边是：

$$(n+1)^4 - 1^4 = (n+1)^4 - 1$$

右边是：

$$4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + n$$

代入公式：

• $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$

• $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

整理后可得：

$$(n+1)^4 - 1 = 4S + 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$$

解这个式子，就可以推出：

$$S = \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

✅ 总结

你说的这种方法可以归结为两种变形：

1. 错位相加/差分构造法：

• 利用 $(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + \cdots$，对两边求和，从而求出 $\sum k^3$。

2. 双重求和展开法：

• 利用 $\left( \sum k \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij$，间接说明立方和 = 和的平方。

如果你愿意，我可以把“差分法”推导过程写得更详细每一步代数化展开出来，要吗？