经典的差分法 求立方和

时间: 2025-05-12 09:44:37

好，我们来详细推导这个经典的差分法，从四次方展开中消去得到立方和的过程。这个方法不需要猜公式，也不需要待定系数，非常巧妙！

🎯 我们的目标

推导：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

🧠 利用差分法构造恒等式

我们从一个恒等式出发：

$$(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$$

这是基础的四次差分恒等式，展开验证如下：

✅ 验证：

$$(k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \Rightarrow (k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$$

🔄 两边从 $k = 1$ 到 $n$ 同时求和：

$$\sum_{k=1}^{n} \left[ (k+1)^4 - k^4 \right] = \sum_{k=1}^{n} \left[ 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \right]$$

✴️ 左边是一个望一眼就能简化的“错位和”：

$$\sum_{k=1}^{n} \left[ (k+1)^4 - k^4 \right] = (2^4 - 1^4) + (3^4 - 2^4) + \cdots + ((n+1)^4 - n^4)$$

全部加起来，中间项都会消掉，只剩下首尾：

$$(n+1)^4 - 1^4 = (n+1)^4 - 1$$

🔁 右边可以拆成几项的和：

$$\sum_{k=1}^{n} \left( 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \right) = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$$

📌 写出公式代入：

• $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

• $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

• $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

📄 写成完整等式：

$$(n+1)^4 - 1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$$

化简右边：

$$= 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n$$

🧮 整理右边所有项：

$$4\sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n$$

我们合并：

$$= 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+1 + 2) + n = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+3) + n$$

🟩 左边也展开：

$$(n+1)^4 - 1 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - 1 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n$$

🟦 现在左右两边完整一致：

$$n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + n(n+1)(2n+3) + n$$

🎯 解这个方程求 $\sum_{k=1}^{n} k^3$

把除 $\sum$ 的部分移到左边：

$$4\sum_{k=1}^{n} k^3 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n - [n(n+1)(2n+3) + n]$$

我们计算括号部分：

$$n(n+1)(2n+3) + n = [2n^3 + 5n^2 + 3n] + n = 2n^3 + 5n^2 + 4n$$

所以：

$$4\sum_{k=1}^{n} k^3 = (n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n) - (2n^3 + 5n^2 + 4n) = n^4 + 2n^3 + n^2$$

两边除以 4：

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$

✅ 完成推导！

这个过程是完全代数化的，没有用猜测公式，也没有用待定系数法，而是通过构造“差分恒等式”，用消元和等式整理，最终精准推出立方和。

如果你想，我还可以再展示一个图形推导法，用可视化的方法看出这个立方和是一个“平方”的结构，要看吗？