为什么前 n 个自然数的立方和是它们的和的平方，代数推导

时间: 2025-05-12 10:04:23

好的，我们现在来把你发的那张图中的 不太直观的代数推导 拆成一步一步的直白讲解，让你真正理解这个思路。这个推导的目标是：

🎯 证明：

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$

🧩 整体结构概览（这个推导做了什么）

它从 $\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2$ 出发，把它展开成双重求和；
然后再拆成对角线项（ $k = j$ ）和非对角项（ $k \ne j$ ）；
逐步化简，把各部分变成我们熟悉的 $k^2$ 、 $k^3$ 之和；
最后收集整理，得到 $k^3$ 的和。

我们现在一步步讲：

🔹 第一步：平方展开变成双重求和

从：

$\left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$

展开平方：

$= \left( \sum_{k=1}^{n} k \right) \left( \sum_{j=1}^{n} j \right) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} kj$

这个意思是：把所有的 $k$ 和 $j$ 从 $1$ 到 $n$ 的组合都算一遍，把所有 $k \cdot j$ 加起来。

🔹 第二步：把所有 $k, j$ 的组合分成两部分

把 $kj$ 分为两类：

当 $k = j$ 的时候（对角线）
当 $k \ne j$ 的时候（非对角）

所以：

$\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} kj = \sum_{1 \le k = j \le n} kj + \sum_{1 \le k \ne j \le n} kj$

也就是：

$= \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k \ne j} kj$

🔹 第三步：处理第二项 $\sum_{k \ne j} kj$

这一步是关键，最难的地方在这。

我们对第二项进行整理：

$\sum_{k \ne j} kj = 2 \sum_{1 \le j < k \le n} kj$

因为在 $k \ne j$ 的所有组合里， $kj$ 和 $jk$ 是成对对称的，所以只取一半再乘 2。

🔹 第四步：把双重和写成嵌套和，交换求和顺序

这个形式是：

$2 \sum_{k=2}^{n} \sum_{j=1}^{k-1} kj$

这其实就是“所有下三角区域”的求和，注意 $j < k$ ，所以从 $k=2$ 开始，到 $k=n$ ，每次 $j$ 从 1 到 $k-1$ 。

🔹 第五步：把 $kj$ 的和提到外面

由于 $k$ 是外层变量，固定不动，内层求和只针对 $j$ ，所以可以写为：

$2 \sum_{k=2}^{n} k \sum_{j=1}^{k-1} j$

内层和是 $1 + 2 + \cdots + (k-1)$ ，也就是：

$\sum_{j=1}^{k-1} j = \frac{(k-1)k}{2}$

🔹 第六步：化简整个表达式

所以：

$2 \sum_{k=2}^{n} k \cdot \frac{(k-1)k}{2} = \sum_{k=2}^{n} k^2(k-1)$

我们把这一项再变形：

$= \sum_{k=2}^{n} \left( k^3 - k^2 \right) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k^2$

（因为 $k^3 - k^2$ 从 $k=2$ 到 $n$ ，但前面我们也要包含 $k=1$ ，所以扩展求和到 $k=1$ ）

🔹 第七步：组合所有项

还记得一开始拆成：

$\left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k \ne j} kj$

我们已经知道：

$\sum_{k \ne j} kj = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k^2$

所以合在一起：

$\left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \left( \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k^2 \right) = \sum_{k=1}^{n} k^3$

✅ 完成！你已经掌握了这个推导！

这个方法是一个构造性证明，从平方展开入手，拆成所有 $k \cdot j$ 的组合，再把这些组合重新分组和解释，最后自然得出立方和的表达。

如果你想，我可以用图示、表格或动画进一步帮你可视化理解。需要吗？