5^2+8^2 + 13^2+...+89^2+144^2 规律并计算

时间: 2025-05-14 06:25:40

极简手算方法：利用斐波那契数列平方和的性质

虽然直接裂项（即通过代数变形将求和式转化为更简单的形式）对于斐波那契数列的平方和并不常见，但我们可以利用斐波那契数列平方和的一个已知性质来简化计算。以下是极简的手算步骤：

已知性质：

斐波那契数列的平方和满足：

$ \sum_{k=1}^{n} F_k^2 = F_n \cdot F_{n+1} $

应用到本题：

我们需要计算从 $ F_5 $ 到 $ F_{12} $ 的平方和：

$ S = F_5^2 + F_6^2 + \cdots + F_{12}^2 $

这可以表示为：

$ S = \left( \sum_{k=1}^{12} F_k^2 \right) - \left( \sum_{k=1}^{4} F_k^2 \right) $

根据性质：

$ \sum_{k=1}^{12} F_k^2 = F_{12} \cdot F_{13} $

$ \sum_{k=1}^{4} F_k^2 = F_4 \cdot F_5 $

计算斐波那契数列的相关项：

斐波那契数列：

$ F_1 = 1, \quad F_2 = 1 $

$ F_3 = F_2 + F_1 = 2 $

$ F_4 = F_3 + F_2 = 3 $

$ F_5 = F_4 + F_3 = 5 $

$ F_6 = F_5 + F_4 = 8 $

$ F_7 = F_6 + F_5 = 13 $

$ F_8 = F_7 + F_6 = 21 $

$ F_9 = F_8 + F_7 = 34 $

$ F_{10} = F_9 + F_8 = 55 $

$ F_{11} = F_{10} + F_9 = 89 $

$ F_{12} = F_{11} + F_{10} = 144 $

$ F_{13} = F_{12} + F_{11} = 233 $

计算平方和：

$ \sum_{k=1}^{12} F_k^2 = F_{12} \cdot F_{13} = 144 \times 233 $

$ \sum_{k=1}^{4} F_k^2 = F_4 \cdot F_5 = 3 \times 5 = 15 $

因此：

$ S = 144 \times 233 - 15 $

计算 $ 144 \times 233 $：

$ 144 \times 200 = 28800 $

$ 144 \times 30 = 4320 $

$ 144 \times 3 = 432 $

$ 28800 + 4320 = 33120 $

$ 33120 + 432 = 33552 $

最终计算：

$ S = 33552 - 15 = 33537 $

极简步骤总结：

1. 识别序列为斐波那契数列的平方：$ F_5^2 $ 到 $ F_{12}^2 $。

2. 利用平方和性质：$ \sum_{k=1}^{n} F_k^2 = F_n \cdot F_{n+1} $。

3. 计算 $ \sum_{k=1}^{12} F_k^2 = F_{12} \cdot F_{13} = 144 \times 233 $。

4. 计算 $ \sum_{k=1}^{4} F_k^2 = F_4 \cdot F_5 = 15 $。

5. 求差：$ S = 144 \times 233 - 15 $。

6. 计算 $ 144 \times 233 = 33552 $。

7. 最终结果：$ S = 33552 - 15 = 33537 $。

最终答案：

$ 5^2 + 8^2 + 13^2 + 21^2 + 34^2 + 55^2 + 89^2 + 144^2 = 33537 $