简谐运动周期公式推导

时间: 2019-11-02 12:15:12

由牛顿第二定律，有 $ F = ma = -kx $

即$ a = -\frac{k}{m}x $

加速度a可以写成 $ a = \frac{d^2x}{dt^2} $

$ 将 \frac{k}{m}写成 \omega^2 $

$ 得到\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2x $

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为 $ x = Asin(\omega t + \phi ) $

这说明小球的位移x是按正弦曲线的规律随时间作周期性变化 ，其变化的角速度为 $ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T} $

周期为 $ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$