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单摆周期公式推导


重力G沿着圆弧切线方向的分力 $ G_1 = mgsin\theta $提供摆球给作为回复力F

当偏角$\theta$很小(如$ \theta < 10^{\circ} $)时, $sin\theta \approx \theta \approx \frac{x}{l} $,所以单摆受到的回复力 $ F = -\frac{mg}{l}x $,其中l为摆长,x为摆球偏离平衡位置的位移,负号表示回复力F与位移x的方向相反,由于m、g、l为常数,所以$\frac{mg}{l}$表示为常数k,上式写成$F = -kx $。

因此,在偏角$\theta$很小时,单摆受到的回复力与位移成正比,方向与位移方向相反,单摆作的是简谐运动。

将$k=\frac{mg}{l}$带入到简谐运动物体的周期公式,可得单摆的周期公式为$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

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