弦长公式

时间: 2025-01-11 19:32:41

弦长公式用于计算圆中两点之间的弦的长度。若已知圆心$(O)$的半径为$R$，弦上两点为$(A)$和$(B)$，以及对应的圆心角为$\theta$（以弧度计），则弦长公式为：

$$L = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

参数说明：

1. $R$：圆的半径。

2. $\theta$：圆心角，必须用弧度表示。如果角度是以度数表示，可以先将其转换为弧度：$$\theta_{\text{radian}} = \theta_{\text{degree}} \cdot \frac{\pi}{180}$$

3. $L$：弦长。

推导过程：

• 在圆心$(O)$和弦的两端点$(A, B)$构成的三角形中，以$O$为顶点的角度为$\theta$。

• 根据正弦定理，弦长$L$是等腰三角形底边：$$L = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

特殊情况：

1. 直径（弦为最大长度）：当$\theta = \pi$时，$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$，弦长为：$$L = 2R$$

2. 小角度近似：当$\theta \to 0$时，弦长近似等于弧长：$L \approx R\theta$。

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