祖冲之在圆周率计算上的贡献

时间: 2025-10-07 22:44:52

好的，我们接着讲祖冲之在圆周率计算上的贡献。

祖冲之（429–500年）在《缀术》中记载了他对圆周率的计算结果，虽然原书已失传，但《隋书·律历志》中留下了关键记载。

1. 记载原文

> “宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。”

翻译成现代术语：

- 他设圆的直径为 1 丈 = 1亿单位（即 1 丈 = 10^8 微单位？这里“一亿为一丈”可能是计算时取直径 1 丈 = 10^8 微小长度单位，方便内接多边形计算时避免分数）。

- 盈数（上限）：3.1415927

- 朒数（下限）：3.1415926

- 圆周率真值在 3.1415926 与 3.1415927 之间。

- 密率（精确分数）：$ \frac{355}{113} \approx 3.14159292... $

- 约率（简单分数）：$ \frac{22}{7} \approx 3.142857... $

祖冲之沿用了刘徽的割圆术，但把分割推到更远。

刘徽算到 96 边形得到 3.141024，192 边形得到 3.14159。

祖冲之需要算到 正 24576 边形 才能得到小数点后 7 位精度。

设半径 $ R = 1 $（单位圆），从正 6 边形开始，每次边数加倍：

刘徽已经给出递推公式：

$a_{2n} = \sqrt{ 2 - \sqrt{ 4 - a_n^2 } }$

（这是另一种等价形式，可从之前的公式推出。）

祖冲之需要反复做开方，并保持足够多有效数字（当时用算筹）。

他算到：

- 正 12288 边形时，得到圆周率不足近似 3.14159261

- 正 24576 边形时，得到圆周率过剩近似 3.14159271

因此确定：

$3.1415926 < \pi < 3.1415927$

这一密率是圆周率的最佳逼近分数（连分数展开）。

$\pi \approx [3; 7, 15, 1, 292, ...]$

截取到 [3; 7, 15, 1] 得到：

$3 + \frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}$

误差仅 $ \approx 2.67 \times 10^{-7} $。

祖冲之如何得到它，历史没有明确记载，可能是用“调日法”（何承天的分数近似法）改进得到的，也可能是用割圆术数据做分数逼近时发现的。

1. 精度记录：3.1415926 ~ 3.1415927 保持了近千年世界领先（直到 15 世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西算到小数点后 16 位）。

2. 密率 $\frac{355}{113}$ 在分母不超过 113 的分数中是最接近 π 的，欧洲直到 1573 年才由德国人 Valentinus Otho 重新发现。

3. 约率 $\frac{22}{7}$ 是工程常用近似。

祖冲之的贡献：

- 将刘徽几何方法推进到极限（算到 24576 边形，大量开方运算）。

- 给出 π 的上下界，明确误差范围。

- 提出密率和约率，兼顾精确与实用。

- 这一纪录在中国保持到现代科学传入之前。