线性代数公式汇总
时间: 2025-11-09 19:06:59
当然！这里为您整理了一份线性代数核心公式的汇总，涵盖了从基础到进阶的主要内容。这份汇总力求简洁明了，便于复习和速查。
一、行列式
1. 二阶行列式
$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $
2. 三阶行列式（对角线法则）
$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{aligned} &a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned} $
3. n阶行列式（按行/列展开）
$ \det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{ik} \quad (\text{按第i行展开}) $
$ \det(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{kj}A_{kj} \quad (\text{按第j列展开}) $
其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。
4. 行列式性质
* $\det(A^T) = \det(A)$
* 交换两行（列），行列式变号。
* 某行（列）乘以k，行列式变为原来的k倍。
* 某行（列）是两组数之和，可拆分为两个行列式之和。
* 把某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变。
5. 特殊行列式
* 上/下三角行列式：值等于主对角线元素之积。
* 分块三角矩阵行列式：
$ \det \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(B) $
二、矩阵
1. 矩阵运算
* 加法：对应元素相加。
* 数乘：每个元素乘以该数。
* 矩阵乘法：$C = AB$，其中 $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$。
* $(AB)C = A(BC)$
* $A(B+C) = AB + AC$
* 不满足交换律：$AB \neq BA$
2. 转置矩阵
* $(A^T)^T = A$
* $(A+B)^T = A^T + B^T$
* $(kA)^T = kA^T$
* $(AB)^T = B^T A^T$
3. 逆矩阵
* 定义：$AA^{-1} = A^{-1}A = I$
* 性质：
* $(A^{-1})^{-1} = A$
* $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
* $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
* 公式：
* 二阶逆矩阵：若 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，且 $\det(A) \neq 0$，则
$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $
* 伴随矩阵法：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$
其中 $A^*$ 是A的伴随矩阵，其第i行第j列元素是 $A_{ji}$（代数余子式，注意下标互换！）。
4. 矩阵的秩
* 行秩 = 列秩。
* 满秩矩阵：$\text{rank}(A) = n$ $\Leftrightarrow$ $\det(A) \neq 0$ $\Leftrightarrow$ $A$ 可逆。
* 性质：
* $\text{rank}(A^T) = \text{rank}(A)$
* $\text{rank}(AB) \le \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$
* 若P、Q可逆，则 $\text{rank}(PAQ) = \text{rank}(A)$。
三、线性方程组
1. 克莱姆法则
对于方程组 $Ax = b$，若 $\det(A) \neq 0$，则有唯一解：
$ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \quad j=1,2,\dots,n $
其中 $A_j$ 是将A的第j列替换为b后得到的矩阵。
2. 解的结构
* 齐次方程组 $Ax=0$：
* 总有零解。
* 有非零解 $\Leftrightarrow$ $\text{rank}(A) < n$ $\Leftrightarrow$ $\det(A) = 0$。
* 解空间的维数：$n - \text{rank}(A)$。
* 非齐次方程组 $Ax=b$：
* 有解 $\Leftrightarrow$ $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$。
* 通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解。
四、向量空间与线性相关
1. 线性相关/无关
* 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 存在不全为零的 $k_1, k_2, \dots, k_s$ 使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0$。
* 向量组 线性无关 $\Leftrightarrow$ 上式成立当且仅当 $k_1=k_2=\dots=k_s=0$。
2. 基、维数与坐标
* 空间中极大线性无关组称为基。
* 基向量的个数称为空间的维数。
* 任何向量可由基唯一线性表示，表示系数称为该向量在此基下的坐标。
3. 施密特正交化
将线性无关向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 化为正交向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s$：
$ \begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1 \\ \beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 \\ \beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 \\ &\vdots \end{aligned} $
*单位化*：$\eta_i = \frac{\beta_i}{||\beta_i||}$
五、特征值与特征向量
1. 定义
$ A\xi = \lambda \xi \quad (\xi \neq 0) $
其中 $\lambda$ 是特征值，$\xi$ 是对应的特征向量。
2. 特征多项式
$ f(\lambda) = \det(A - \lambda I) $
特征值是特征方程的根：$\det(A - \lambda I) = 0$。
3. 性质
* $n$阶矩阵在复数域内有$n$个特征值（含重根）。
* $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \text{tr}(A)$（矩阵的迹，即主对角线元素和）。
* $\prod_{i=1}^{n} \lambda_i = \det(A)$。
* 不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、相似对角化与二次型
1. 相似矩阵
* 存在可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP = B$，则A与B相似。
* 相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹和秩。
2. 相似对角化
* $n$阶矩阵A可对角化 $\Leftrightarrow$ A有$n$个线性无关的特征向量。
* 若A可对角化，则 $P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中P的列向量是A的特征向量。
3. 实对称矩阵
* 特征值都是实数。
* 不同特征值对应的特征向量相互正交。
* 必可对角化，且存在正交矩阵Q，使得 $Q^{-1}AQ = Q^TAQ = \Lambda$。
4. 二次型及其标准化
* 二次型：$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = x^TAx$，其中A是实对称矩阵。
* 合同变换：存在可逆矩阵C，使得 $C^TAC = \Lambda$。
* 标准化/正交变换法：
1. 求A的特征值$\lambda_i$和正交单位化的特征向量。
2. 以这些特征向量为列构成正交矩阵Q。
3. 令 $x=Qy$，则 $f = x^TAx = y^T(Q^TAQ)y = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \dots + \lambda_ny_n^2$。
5. 正定二次型与正定矩阵
* 以下条件等价：
* $A$是正定矩阵。
* 对任意非零向量x，有 $x^TAx > 0$。
* 所有特征值 $\lambda_i > 0$。
* 各阶顺序主子式均大于零。
希望这份汇总能对您有所帮助！建议在理解概念的基础上记忆和使用这些公式。
