四次H门的张量积

时间: 2024-10-10 12:04:10

我们来展开四次 $ H $ 门的张量积 $ H \otimes H \otimes H \otimes H $ 在量子比特的初态 $|0\rangle \otimes |0\rangle \otimes |0\rangle \otimes |0\rangle$ 上的作用。

1. 量子Hadamard门（$ H $ 门）

Hadamard门（$ H $ 门）的作用是：

$    H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) $

$    H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) $

其矩阵形式是：

$    H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $

2. 张量积 $ H \otimes H \otimes H \otimes H $

四个 $ H $ 门的张量积作用在初始态 $|0000\rangle$ 上可以表示为：

$    (H \otimes H \otimes H \otimes H) |0000\rangle $

我们可以逐步展开这个操作：

2.1. 计算 $ H \otimes H $ 在 $|00\rangle$ 上的作用

首先计算 $ H \otimes H $ 的作用：

$    (H \otimes H) (|00\rangle) = (H|0\rangle) \otimes (H|0\rangle) $

$    = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) $

$    = \frac{1}{2} \left[ (|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \right] $

$    = \frac{1}{2} \left[ |00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle \right] $

2.2. 计算 $ (H \otimes H \otimes H) $ 在 $|000\rangle$ 上的作用

接下来计算 $ (H \otimes H \otimes H) $ 的作用：

$    (H \otimes H \otimes H) (|000\rangle) = (H \otimes H) \left[ \frac{1}{2} \left( |00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle \right) \right] $

2.3. 计算第三个 $ H $ 门对结果的作用：

经过3个 Hadamard 门的作用，3比特的叠加态是：

$    \frac{1}{2^{3/2}} \left[ |000\rangle + |001\rangle + |010\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle + |110\rangle + |111\rangle \right] $

这里的系数 $\frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{8}}$ 是因为每个 Hadamard 门都会对叠加态的幅度进行缩放。

所以最终结果就是每个可能状态的幅度都相等的叠加态，其中每个状态的幅度为 $\frac{1}{2^{3/2}}$。

2.3. 计算 $ H \otimes H \otimes H \otimes H $ 在 $|0000\rangle$ 上的作用

4个量子比特的叠加态应该有 $2^4 = 16$ 项，包括所有从 $|0000\rangle$ 到 $|1111\rangle$ 的状态。

正确的展开过程

对于4个量子比特，作用4个 Hadamard 门 $ H \otimes H \otimes H \otimes H $ 在初始态 $|0000\rangle$ 上时，结果应该是16个状态的等幅叠加态。Hadamard 门作用于每一个比特将其变为均匀叠加态，因此最终的叠加态是所有可能的组合态的均匀叠加，具体为：

$(H \otimes H \otimes H \otimes H) |0000\rangle = \frac{1}{4} (|0000\rangle + |0001\rangle + |0010\rangle + |0011\rangle + |0100\rangle + |0101\rangle + |0110\rangle + |0111\rangle + |1000\rangle + |1001\rangle + |1010\rangle + |1011\rangle + |1100\rangle + |1101\rangle + |1110\rangle + |1111\rangle)$

这表示所有16种可能状态的等概率叠加，包括你提到的 $|1111\rangle$ 状态。

这个结果是一个均匀叠加态，代表了量子比特的所有可能的状态的等概率叠加。