半圆轨道上平抛

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x = v_0 t ①\\ y = R - \frac{1}{2}gt^2 ②\\ \end{array} \right. \end{equation}

$x^2 + y^2 = R^2 ③$

联立①②，有 $y = R - \frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0 ^2}$ ④

将④代入③，整理有

$\frac{g^2}{4v_0 ^2} x^4 - ({v_0}^2 - gR)x^2 = 0$

令$u=x^2$，有

$\frac{g^2}{4v_0 ^2} u^2 - ({v_0}^2 - gR)u = 0$

上式是关于u的一元二次方程，由根与系数的关系(或求根公式)，有

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} v_0 \geq \sqrt{gR} & 一个根\\ 0 \lt v_0 \lt \sqrt{gR} & 大于一个根 \\ \end{array} \right. \end{equation}