第二宇宙速度的推导

本文依据第二宇宙速度的定义与功能关系，把第二宇宙速度的大小推导过程做个解析。具体如下：

（1）第二宇宙速度的定义

在地球表面以该速度发射卫星，卫星会逃逸出地球引力，最终围绕太阳做运行，这样的最小速度称之为第二宇宙速度，也叫地球逃逸速度。不难看出，各种行星（比如火星）探测器的起始飞行速度都高于第二宇宙速度。

（2）功能关系概述

从功能关系来看，航天器在地球表面获得的初始动能，一部分克服地球万有引力的势能，留下的是在自身逃逸后的动能。（这一过程是不计大气层摩擦的）

第二宇宙速度是所有逃逸速度中最小的，也就是说克服地球万有引力的势能后其动能为零，换句话说，就是在地球表面所具有的能量都转化为势能了。

万有引力所对应的势能与重力势能类似，是一个相对的量。一般我们规定无穷远处的势能为零，显然在地球表面的势能是负值。

（3）具体推导过程

一个航天器在地面开始运动到脱离地球引力范围（相当于上升到无限远处）的过程中，克服引力做功，动能减少，所以初始动能必须不小于脱离过程中克服引力所做的功。

$\frac{1}{2}mv^{2} \geq W$

但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。因此，功的数值不是简单地用第二宇宙速度的推导公式就可以计算的。

我们采用微积分的思想来求解

根据万有引力定律，如果用G表示万有引力恒量，M表示地球的质量，m表示物体的质量，r表示物体离地心的距离，R为地球半径。则物体在离地心r处所受地球引力为

    $ F=\frac{GMm}{r^2} $

则在物体上升dr的过程中，克服引力做功为

　　$ W = \sum Fr×dr $

对上式积分，积分限为从R积到$\infty$，

　　$ W= \sum Fr×dr=\begin{matrix} \int_{R}^{\infty} \frac{GMm}{r^2} dr \end{matrix} $

所以，从地球表面到无穷远处过程中克服引力所做的功为

    $W= -\frac{GMm}{r}\bigg|_{R}^{\infty} $

$W = \frac{GMm}{R}$

$v \geq \sqrt{\frac{2GM}{R}}$（从这一表达与第一宇宙速度的表达式对比，可以得出第二宇宙速度是第一宇宙速度的$\sqrt 2$倍。）

参考链接： 万有引力势能