万有引力定律揭示了天体运动的规律,在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。它为实际的天文观测提供了一套计算方法,可以只凭少数观测资料,就能算出长周期运行的天体运动轨道,科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现,都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。
利用万有引力公式,开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。他依据万有引力定律和其他力学定律,对地球两极呈扁平形状的原因和地轴复杂的运动,也成功的做了说明。
推翻了古代人类认为的神之引力。使人们建立了有能力理解天地间的各种事物的信心,解放了人们的思想,在科学文化的发展史上起了积极的推动作用。
“称量”地球的质量
1.思路:地球表面上质量为m的物体,若不考虑地球自转,物体的重力等于地球对物体的万有引力。
2.关系式:mg=Gmm地/R²(m地为地球质量,R为地球的半径)。
3.结论:m地=gR²/G,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。
计算天体的质量
1.思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力提供向心力。
2.关系式:Gmm太/r²=mω²r=m4π²r/T²(m太为太阳的质量,r为行星与太阳的距离)
3.结论:m太=4π²r³/GT²,只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
发现未知天体、预言哈雷慧星回归
1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现:近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3.哈雷彗星回归:英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙,并预言这三次出现的彗星是同一颗星,周期约为76年,还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点,它最近一次回归是1986年,它的下次回归将在2061年左右。
天体质量和密度的计算方法
1、重力加速度法
已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g,物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力,mg=GMm/R²。
天体质量:M=gR²/G,天体的密度:ρ=M/V=3g/4πRG
g为天体表面重力加速度,未知星球表面重力加速度通常利用实验测出,例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动
2、环绕法
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动,行星或卫星受到的万有引力充当向心力:(以T为例)
中心天体质量:M=4π²r³/GT²,中心天体密度:ρ=M/V=3πR³/GT²R³
这种方法只能求中心天体质量,不能求环绕星体质量,T为公转周期,r为轨道半径,R为中心天体半径。
天体运行参量的分析和计算
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,即$F_向=F_万$。
结合以下公式:
(1)公式:$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $
G为万有引力恒量:$ G = 6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2 $
(2) $ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} = m{\omega^2}r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r = ma = mg' $
推导:
①中心天体的质量:$M = \frac{4\pi^2r^3}{GT^2} $
②行星或卫星做匀速圆周运动的线速度:$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $
③行星或卫星做匀速圆周运动的角速度 $ \omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} $
④行星或卫星做匀速圆周运动的周期:$ T = \sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}} $
⑤行星或卫星做匀速圆周运动的轨道半径: $ r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} $
⑥行星或卫星做匀速圆周运动的向心加速度:
$ a = \frac{GM}{r^2} $
⑦地球或天体重力加速度随高度的变化:$ g'= \frac{GM}{r^2} = \frac{GM}{(R+h)^2} $
特别地,在天体或地球表面:$ g_0 = \frac{GM}{R^2} \quad $
$ g' = \frac{R^2}{(R+h)^2}g_0 $
⑧天体的平均密度: $ \rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi r^3}{GT^2R^3} $
特别地:当r=R时:$ \rho T^2 = \frac{3\pi}{G} $
⑨在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力,即 $ mg = G \frac{Mm}{R^2},所以gR^2 = GM。 $ 在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速度来表示,此式在天体运动问题中经常应用,称为黄金代换式。
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