小船过河

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PC动画： 小船过河

要使小船垂直渡河，小船在静水中的航行速度$v_1$必须大于水流速度$v_2$，且船头应指向河流的上游，使船的合速度v与河岸垂直，如图1所示。设船头指向与河岸上游之间的夹角为$\theta$，河宽为d，则有$v_1 cos\theta = v_2$，即 $cos\theta=\frac{v_2}{v_1}$

垂直渡河时间$t=\frac{d}{v}=\frac{d}{v_1 sin\theta}$

2. 以最短时间渡河

当小船在静水中的航速$v_1$大小确定时，由$t=\frac{d}{v_1 sin\theta}$知，当$sin \theta = 1$时，t最小，即当船头指向与河岸垂直时，小船有最短渡河时间$t=\frac{d}{v_1}$。可见最短渡河时间与水流速度无关。

例1. 如图2，一只小船从河岸A点出发，船头垂直于河岸行驶，经10min到达正对岸下游120m的C点。若小船速度不变，保持船身轴线与河岸成$\theta$角行驶，经过12.5min到达正对岸B点，则此河的宽度d为多少？

分析：设小船在静水中的速度为$v_1$，水流速度为$v_2$，船以最短时间到达C点，有

船垂直到达B点，有

由以上各式得 $d=200m$

3. 以最小位移渡河

（1）当船在静水中的速度$v_1$大于水流速度$v_2$时，小船可以垂直渡河，显然渡河的最小位移s等于河宽d。

（2）当船在静水中的速度$v_1$小于水流速度$v_2$时，不论船头指向如何，船总要被水冲向下游。

设小船指向与河岸上游之间的夹角为$\theta$时，渡河位移最小。此时，船头指向与合速度方向成$\alpha$角，合速度方向与水流方向成$\beta$角，如图3。

由正弦定理得

所以

由图3可知，$\beta$角越大渡河位移越小，以$v_2$的顶点为圆心，以$v_1$的大小为半径作圆，很明显，只有当$\alpha = 90^{\circ}$时，$\beta$最大，渡河位移最小。即当船头指向和实际运动方向垂直时，渡河位移最小，为

。