机械波|机械振动|简谐振动|弹簧振子|单摆

机械振动

一、基本概念

1．机械振动：物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动。

2．回复力F：

使物体返回平衡位置的力，回复力是根据效果（产生振动加速度，改变速度的大小，使物体回到平衡位置）命名的，回复力总指向平衡位置，回复力是某几个性质力沿振动方向的合力或是某一个性质力沿振动方向的分力。

（如：①水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；②竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；③单摆的回复力是摆球所受重力在圆周切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力）

3．平衡位置：回复力为零的位置（物体原来静止的位置）。物体振动经过平衡位置时不一定处于平衡状态即合外力不一定为零（例如单摆中平衡位置需要向心力）。

4．位移x：

相对平衡位置的位移。它总是以平衡位置为始点，方向由平衡位置指向物体所在的位置，物体经平衡位置时位移方向改变。

5．简谐运动：

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

（1）动力学表达式为：F=﹣kx

F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

（2）运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)

（3）简谐运动是变加速运动。物体经平衡位置时速度最大，物体在最大位移处时速度为零，且物体的速度在最大位移处改变方向。

（4）简谐运动的加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体指向平衡位置的(或沿振动方向的)加速度a=﹣kx/m，由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。故平衡位置F、x、a均为零，最大位移处F、x、a均为最大。

（5）简谐运动的振动物体经过同一位置时，其位移大小、方向是一定的，而速度方向不一定。

（6）简谐运动的对称性

① 瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系；速度的大小、动能也具有对称性，速度的方向可能相同或相反。

② 过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间也相等。

6．振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱和能量的物理量，无正负之分。

7．周期T和频率f：表示振动快慢的物理量。完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定（与振幅无关），所以叫固有周期和频率。任何简谐运动都有共同的周期公式：

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度系数）。

8．相位(ωt+φ)：是用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量，其单位为弧度。

初相位φ0：周期性运动的初始状态

9．全振动：振动物体连续两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的的过程，即物体运动完成一次规律性变化。振子做一次全振动的路程为4A。

二、典型的简谐运动

1．弹簧振子：

（1）简谐运动条件：

①弹簧质量忽略不计

②无摩擦等阻力

③在弹性限度内。

（2）说明回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）

①回复力指向平衡位置

②位移从平衡位置开始

③弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒。

（3）周期

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（4）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

。这个结论可以直接使用。

（5）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

（6）弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变化情况。

2．单摆：在一不可伸长、忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆。

（1）单摆的特点：

①单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型；

②单摆振动可看作简谐运动的条件：a摆线为不可伸长的轻细线b无空气等阻力c最大摆角θ<5°；

③单摆的等时性（伽利略），在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关；

④单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；

⑤重力势能与动能的相互转化，机械能守恒。

（2）周期公式：

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

半径方向：T－mgcosθ＝mv2/r 向心力改变速度方向

切线方向：F回＝mgsinθ 改变速度大小

若θ角很小，则有sinθ＝tanθ＝x/L,而且回复力指向平衡位置，与位移方向相反，所以对于回复力F，有：

$F_回 = mg\frac{x}{L} = \frac{mg}{L}x = kx$

（3）单摆周期公式的应用：测量当地的重力加速度g，

（L为摆长，是悬点到球心的距离，即：L=绳长+摆球半径）

秒摆：摆长为1m，周期为2s的单摆。

周期T通常是摆动30-50次测量时间求平均值

三、简谐运动的图象

1．图象的描绘：一个振子真实的运动轨迹用时间拉开。

（1）描点法

（2）从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，ω=2π/T=2πf

从最大位移处开始计时，函数表达式x＝Acosωt

注意：简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹（真实轨迹是一条往复的直线）

2．振动图象的信息：

①直接读出振幅（注意单位）

②直接读出周期

③确定某一时刻物体的位移

④判定任一时刻运动物体的速度方向（最大位移处无方向）和加速度方向

⑤判定某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变化情况

3．振动图象的应用：任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成。

四、受迫振动与共振

1．振动能量=动能+势能=最大位移的势能=平衡位置的动能（由振幅决定，与周期和频率无关）

2．阻尼振动和无阻尼振动

（1）阻尼振动：存在阻力做负功，能量减小，振幅减小（减幅振动）

（2）无阻尼振动(等幅振动)：在振动中，为保持振幅不变(能量不变)

3．受迫振动

（1）受迫振动：物体在周期性外力作用下的振动叫受迫振动。

（2）驱动力：周期性的外力作用于振动系统，对系统做功，克服阻尼作用，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去，这种周期性的外力叫驱动力。

（3）物体做受迫振动的频率由驱动力决定，等于驱动力频率，而与固有频率无关（如：秋千）

4．共振：

（1）在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大

①产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率

②共振曲线：以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，f驱与f固越接近，振幅A越大；当f驱＝f固时，振幅A最大。

（2）共振的防止和应用

①利用共振：驱动力频率靠近固有频率，如共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千等。

②防止共振：驱动力频率远离固有频率，如机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢等。

机械波

一、机械波的产生和传播波的概念

1．机械波：机械振动在弹性介质中的传播

2．形成条件：

（1）波源：振源波源、波的发源地，最先振动的质点，不是自由振动，而应是受迫振动，有机械振动，不一定有机械波，有机械波必有机械振动。（决定了波的周期T和频率f）

（2）介质：介质应具有弹性的媒质，这里的弹性与前述弹性不同，能形成波的媒质叫弹性媒质。（决定了波的传播速度v）

3．波的特点和传播

（1）把介质看成是由大量的质点构成的，规定离振源近的称为前一质点，离振源远的称为后一个质点。相邻的质点间存在着相互作用力，振动时，前一质点带动后一质点振动

（2）机械波传播的只是振动的形式和能量，各个质点只在各自的平衡位置附近往复振动，不随波的传播而迁移（水中的树叶）

（3）质点做受迫振动，质点的振幅、振动周期和频率都与波源的相同

（4）各质点开始振动(即起振)的方向均相同

（5）振动速度和波速的区别。在均匀媒质中波是匀速、直线前进的，波由一种媒质进入另一种媒质，f不变，而v变，而质点的振动是变加速运动，二者没有联系，不能混淆。

4．波的意义

（1）传播振动的能量（机械波传播机械能，电磁波传播电磁能。）

（2）传播振动的形式（振源如何振动，质点就如何振动）

（3）传播信息（声波、光波、电磁波）

5．波的分类

（1）横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直，有波峰(凸部)和波谷(凹部)（如水波）

（2）纵波：质点的振动方向与波的传播方向共线，有密部和疏部（如声波）

二、机械波的图象

1．波的图象（简谐波图像为正弦或余弦曲线）：用x表示波的传播方向的各个质点的平衡位置，用y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定在横波中位移的方向向上为正。

取得方法：

（1）描点法――找到某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移

（2）拍照

纵轴：某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移

横轴：介质各个质点的平衡位置

2．波动图象的信息：

（1）波长、振幅

（2）任意一质点此刻的位移

（3）任意一质点在该时刻加速度方向

（4）由传波方向确定振动方向；由振动方向确定传播方向。

（5）画出一定时间的机械波的图象

①描点法

②平移法

（6）波上各质点振动方向的判断

3．振动图象和波的图象的联系与区别

（1）联系：

波动是振动在介质中的传播，两者都是按正弦或余弦规律变化的曲线；振动图象和波的图象中的纵坐标均表示质点的振动位移，它们中的最大值均表示质点的振幅。

（2）区别：

①振动图象描述的是某一质点在不同时刻的振动情况，图象上任意两点表示同一质点在不同时刻偏离平衡位置的位移；波的图象描述的是波在传播方向上无数质点在某一时刻的振动情况，图象上任意两点表示不同的两个质点在同一时刻偏离平衡位置的位移。

②振动图象中的横坐标表示时间，箭头方向表示时间向后推移；波的图象中的横坐标表示离开振源的质点的位置，箭头的方向可以表示振动在介质中的传播方向，即波的传播方向，也可以表示波的传播方向的反方向。

③振动图象随时间的延续将向着横坐标箭头方向延伸，原图象形状不变；波的图象随着时间的延续，原图象的形状将沿横坐标方向整个儿地平移，而不是原图象的延伸。

④在不同时刻波的图象是不同的；对于不同的质点振动图象是不同的。

三、描绘机械波的物理量

1．周期和频率：在波动中，各个质点的振动周期是相同的，它们都等于波源的振动周期，这个周期也叫做波的周期。同样，各个质点的振动频率也是波的频率。（由振源决定）

2．波长（λ）：在波的传播方向上，相对于平衡位置的位移总相等的两个相邻质点间的距离，叫做波长（波长由波源和介质共同决定）

（1）在横波中，两个相邻的波峰或波谷间的距离等于波长，在纵波中两个相邻的密部或疏部间的距离等于波长。

（2）波动在一个周期中向前推进一个波长

（3）在一个周期内波峰或波谷向前推进一个波长

（4）一个完整的正弦曲线横轴长度。

3．波速：

（1）波速：波在介质中的传播速度（由介质决定，固体、液体中波速比空气中大）

$v=\frac{ \Delta X}{\Delta t } = \frac{\lambda}{T}$

$v= \lambda f$

（2）波峰或波谷的推进速度（波的传播方向就是波峰或波谷的推进方向）

（3）与波源无关，所以波从一种媒质进入另一种媒质时f不变、v变化，波速也是波的能量传播速度。

（4）波由一种介质进入到另外一种介质时，波速改变，波长改变，但是频率不变。类比：频率相同，“步长”不同。

4．波的多解问题

（1）周期性

①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确

②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确

（2）双向性

①传播方向双向性：波的传播方向不确定

②振动方向双向性：质点振动方向不确定

四、波的特性

1．波的衍射：波可以绕过障碍物继续传播的现象，说明波能偏离直线而传到直线传播以外的空间。

任何波都能发生衍射现象。

明显衍射现象的条件：当障碍物或孔的尺寸小于波长或与波长相差不多

2．波的干涉

（1）波的叠加原理：在两列波重叠的区域里，任何一个质点都同时参与两列波引起的振动，其振动的位移为两列波单独存在引起的位移的矢量和。

波的独立传播原理：两列波相遇前，相遇过程中和相遇后，各自波形和位移不发生任何变化。

①相遇时，位移和速度都是矢量和

②相遇后，保持原状，继续传播

③峰峰叠加加强，谷谷叠加加强，峰谷叠加减弱

（2）波的干涉：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，而且加强和减弱的区域相间分布的现象。（相干波源：周期频率都完全相同的波源）

①波的传播就是波峰或波谷的推进

②干涉条件：频率相同的两列波（相干波源）叠加

③干涉图样的特点：

参考链接：波的干涉|干涉图样|相干波

3．干涉和衍射（折射和反射）现象是波的特有的现象，一切波（包括电磁波）都能发生干涉知衍射（折射和反射），反之，能发生干涉和衍射（折射和反射）的一定是波。

4．多普勒效应：

（1）波源发出的频率f：波源单位时间内发出波的个数

观察者接收到的频率f′：观察者单位时间内接收到的波的个数

（2）相对运动时对频率的影响

①波源和观察者都不动f′=f

②波源不动：观察者接近波源f′＞f，观察者远离波源f′＜f，波长不变波速不变

③观察者不动：波源远离观察者f′＜f，波源靠近观察者f′＞f，波长改变波速不变。

参考链接：多普勒效应

（3）结论

当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小。

（4）应用

①有经验的铁路工人可以从火车的汽笛声判断火车的运动方向和快慢。

②有经验的战士可以从炮弹飞行时的尖叫声判断飞行的炮弹是接近还是远去。

③交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来时，接收到的频率发生变化，由此可指示汽车的速度 。

④由地球上接收到遥远天体发出的光波的频率可以判断遥远天体相对于地球的运动速度。

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