双星、三星模型(万有引力定律)
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万有引力定律之双星模型
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双星模型示意图
如上图所示，质量分别为m1、m2的双星A和绕同中心点O做匀速圆周运动，其中行星A到O点的距离为r1，行星B到O点的距离为r2，设它们的角速度为w。
分析：既然行星A、B都是做匀速圆周运动，那肯定有力提供它们做圆周运动的向心力，这个力只能是它们之间的万有引力，所以根据万有引力提供向心力可得
$ Gm_1 m_2/L^2 = m_1 r_1 {\omega}^2 $ ①
$ Gm_1 m_2/L^2 = m_2 r_2 {\omega}^2 $ ②
①/m1 + ②/m2，得到
$G (m_2 + m_1)/L^2 = (r_1 + r_2){\omega}^2$
以上是双星模型中最核心的两个等式，也是同学们最容易列错的等式，因为在这里万有引力的引力半径不等于天体做圆周运动的轨道半径，双星模型中行星的周期和角速度相等。
列出了这两个等式，不管题目怎么变，根据题意联立带值就行，一种很常见的题目就是已知r1、r2、T，要你求m1+m2，列出上面两个等式就很容易得出。
简易物理 回复于：2022-06-05 20:53:00 -
$m_1 r_1=m_2 r_2$
双星总质量 $m_1＋m_2＝4 {\pi}^2 L^3/G T^2$
简易物理 回复于：2022-06-05 20:54:31 -
万有引力定律之三星模型
三星模型是指由三个行星组成的稳定三星系统，忽略其他行星对其影响，一般有两种形式。
1、三颗行星在一条直线上，其中有两颗行星绕第三个行星在同一轨道半径R上做匀速圆周运动，如下图。
从上面的图中，我们可以看到，这种情况，是一个天体在中心，而其他两个天体绕着中心天体做匀速圆周运动。
这种模型的特点就是：
中心天体受力平衡。
两个绕行的天体的线速度、角速度、周期的大小都相等。
绕行天体：向心力=万有引力合力。
设其中两行星的轨道半径为R，三颗行星的质量都为m。
$F_1 = G\frac{mm}{r^2}$
$F_2 = G\frac{mm}{(2r)^2}$
$F = F_1+F_2$
向心力 $F_n=m\frac{v^2}{r}$
联立 $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5Gm}{r}}$
简易物理 回复于：2022-06-05 21:05:02 -
三颗行星位于等边三角形的三个顶点上，运动轨迹为这个三角形的外接圆，如下图。
它们一起做匀速圆周运动的时候，有下面的特点：
天体圆周运动的线速度、角速度、周期大小都相同。
绕行天体：向心力=万有引力合外力，且指向等边三角形的几何中心。
设三颗行星的质量都为m，外接圆的半径为R。
分析：三颗行星都在做匀速圆周运动，做圆周运动的向心力由另外两个行星对其万有引力的合力提供。
几何关系
$r=\frac{\sqrt{3}}{3}L$
受力分析
$F_1 = F_2 = G\frac{mm}{L^2}$
$F=2F_1cos30^{\circ}=\sqrt{3}\frac{Gm^2}{L^2}$
$F_n=m\frac{4{\pi^2}r}{T^2} = m\frac{4\sqrt{3}{\pi}^2L}{3T^2}$
由合外力=向心力，$F=F_n$
最终求得天体的运行周期
$T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{3mG}}$
合力提供向心力，这样就可以得出运动的周期T，周期T解出，运动的速度也可以得出。
双星、三星模型可以解，四星、五星模型也是一样解，始终抓住万有引力提供向心力，如果一个行星受到多个行星对它的万有引力，那么就进行矢量合成，合成后的万有引力提供向心力。
简易物理 回复于：2022-06-05 21:20:14 -
简易物理 回复于：2022-06-05 21:23:54