万有引力定律之双星模型

双星模型示意图

如上图所示，质量分别为m1、m2的双星A和绕同中心点O做匀速圆周运动，其中行星A到O点的距离为r1，行星B到O点的距离为r2，设它们的角速度为w。

分析：既然行星A、B都是做匀速圆周运动，那肯定有力提供它们做圆周运动的向心力，这个力只能是它们之间的万有引力，所以根据万有引力提供向心力可得

$ Gm_1 m_2/L^2 = m_1 r_1 {\omega}^2 $ ①

$ Gm_1 m_2/L^2 = m_2 r_2 {\omega}^2 $ ②

①/m1 + ②/m2，得到

$G (m_2 + m_1)/L^2 = (r_1 + r_2){\omega}^2$

以上是双星模型中最核心的两个等式，也是同学们最容易列错的等式，因为在这里万有引力的引力半径不等于天体做圆周运动的轨道半径，双星模型中行星的周期和角速度相等。

列出了这两个等式，不管题目怎么变，根据题意联立带值就行，一种很常见的题目就是已知r1、r2、T，要你求m1+m2，列出上面两个等式就很容易得出。

$m_1 r_1=m_2 r_2$

双星总质量 $m_1＋m_2＝4 {\pi}^2 L^3/G T^2$

万有引力定律之三星模型

三星模型是指由三个行星组成的稳定三星系统，忽略其他行星对其影响，一般有两种形式。

1、三颗行星在一条直线上，其中有两颗行星绕第三个行星在同一轨道半径R上做匀速圆周运动，如下图。

从上面的图中，我们可以看到，这种情况，是一个天体在中心，而其他两个天体绕着中心天体做匀速圆周运动。

这种模型的特点就是：

中心天体受力平衡。

两个绕行的天体的线速度、角速度、周期的大小都相等。

绕行天体：向心力=万有引力合力。

设其中两行星的轨道半径为R，三颗行星的质量都为m。

$F_1 = G\frac{mm}{r^2}$

$F_2 = G\frac{mm}{(2r)^2}$

$F = F_1+F_2$

向心力 $F_n=m\frac{v^2}{r}$

联立 $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5Gm}{r}}$

三颗行星位于等边三角形的三个顶点上，运动轨迹为这个三角形的外接圆，如下图。

它们一起做匀速圆周运动的时候，有下面的特点：

天体圆周运动的线速度、角速度、周期大小都相同。

绕行天体：向心力=万有引力合外力，且指向等边三角形的几何中心。

设三颗行星的质量都为m，外接圆的半径为R。

分析：三颗行星都在做匀速圆周运动，做圆周运动的向心力由另外两个行星对其万有引力的合力提供。

几何关系

$r=\frac{\sqrt{3}}{3}L$

受力分析

$F_1 = F_2 = G\frac{mm}{L^2}$

$F=2F_1cos30^{\circ}=\sqrt{3}\frac{Gm^2}{L^2}$

$F_n=m\frac{4{\pi^2}r}{T^2} = m\frac{4\sqrt{3}{\pi}^2L}{3T^2}$

由合外力=向心力，$F=F_n$

最终求得天体的运行周期

$T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{3mG}}$

合力提供向心力，这样就可以得出运动的周期T，周期T解出，运动的速度也可以得出。

双星、三星模型可以解，四星、五星模型也是一样解，始终抓住万有引力提供向心力，如果一个行星受到多个行星对它的万有引力，那么就进行矢量合成，合成后的万有引力提供向心力。

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