数学分析,导数,积分公式,矩阵与行列式

时间: 2024-09-08 11:30:03

当然，以下是更多数学公式，涵盖不同的数学领域：

### 数学分析

1. 极限定义：

   $ \lim_{x \to a} f(x) = L $

2. 导数定义：

   $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $

3. 常用导数公式：

   $ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} $

   $ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x $

   $ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x $

   $ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $

   $ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} $

4. 积分定义：

   $ \int_a^b f(x)\,dx $

5. 常用积分公式：

   $ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $

   $ \int e^x\,dx = e^x + C $

   $ \int \sin x\,dx = -\cos x + C $

   $ \int \cos x\,dx = \sin x + C $

   $ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C $

### 数列与级数

1. 等差数列第 n 项公式：

   $ a_n = a_1 + (n-1)d $

2. 等差数列求和公式：

   $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $

3. 等比数列第 n 项公式：

   $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $

4. 等比数列求和公式（有限项）：

   $ S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1) $

5. 等比数列求和公式（无限项）：

   $ S = \frac{a_1}{1-r} \quad (|r| < 1) $

### 复数

1. 复数的表示：

   $ z = a + bi $

2. 复数的模：

   $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $

3. 欧拉公式：

   $ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $

4. 复数的共轭：

   $ \overline{z} = a - bi $

### 矩阵与行列式

1. 矩阵加法：

   $ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] $

2. 矩阵乘法：

   $ (AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj} $

3. 行列式的定义（对于 $2 \times 2$ 矩阵）：

   $ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc $

4. 矩阵的转置：

   $ A^T_{ij} = A_{ji} $

5. 逆矩阵（对于 $2 \times 2$ 矩阵）：

   $ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $

### 概率与统计

1. 概率的定义：

   $ P(A) = \frac{\text{事件 } A \text{ 的发生次数}}{\text{总试验次数}} $

2. 条件概率：

   $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

3. 全概率公式：

   $ P(A) = \sum_{i} P(A|B_i)P(B_i) $

4. 贝叶斯公式：

   $ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $

5. 期望值：

   $ E(X) = \sum x_i P(x_i) $

6. 方差：

   $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] $

如果你对某一领域或某一类型的公式有特别的兴趣，请告诉我，我可以提供更详细的信息。