微分方程 矢量代数等公式
时间: 2024-09-08 11:39:57
当然，以下是更多不同领域的数学公式：
### 微分方程
1. 一阶线性微分方程：
$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $
一般解法：
$ y(x) = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) $
2. 二阶线性齐次微分方程：
$ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 $
特征方程：
$ ar^2 + br + c = 0 $
3. 二阶线性非齐次微分方程：
$ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) $
通解：
$ y(x) = y_h(x) + y_p(x) $
其中 $ y_h(x) $ 是对应的齐次方程的通解，$ y_p(x) $ 是特解。
### 矢量代数
1. 点积：
$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta $
或
$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $
2. 叉积：
$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $
3. 向量的模：
$ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
### 线性代数
1. 克拉默法则：
对于线性方程组 $ AX = B $，如果矩阵 $ A $ 的行列式不为零，则方程组有唯一解：
$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $
其中 $ A_i $ 是将 $ A $ 的第 $ i $ 列替换为 $ B $ 得到的矩阵。
2. 特征值与特征向量：
对于矩阵 $ A $：
$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $
其中 $ \lambda $ 是特征值，$ \mathbf{v} $ 是对应的特征向量。
3. 对角化：
如果矩阵 $ A $ 可以对角化，则存在可逆矩阵 $ P $ 和对角矩阵 $ D $，使得：
$ A = PDP^{-1} $
### 复分析
1. 柯西积分公式：
若 $ f(z) $ 在闭合曲线 $ C $ 及其内部解析，则对 $ C $ 内任意点 $ z_0 $ 有：
$ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz $
2. 洛朗级数：
函数 $ f(z) $ 在环域 $ R_1 < |z - z_0| < R_2 $ 内解析，则：
$ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n $
3. 留数定理：
若 $ f(z) $ 在点 $ z_0 $ 存在孤立奇点，并在 $ z_0 $ 的邻域内解析，则：
$ \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0) $
### 数论
1. 欧拉定理：
如果 $ a $ 和 $ n $ 互质，则：
$ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} $
其中 $ \phi(n) $ 是欧拉函数。
2. 费马小定理：
如果 $ p $ 是质数，且 $ a $ 不是 $ p $ 的倍数，则：
$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
3. 中国剩余定理：
如果 $ n_1, n_2, \ldots, n_k $ 两两互质，则对于任意整数 $ a_1, a_2, \ldots, a_k $，方程组：
$ x \equiv a_1 \pmod{n_1} $
$ x \equiv a_2 \pmod{n_2} $
$ \vdots $
$ x \equiv a_k \pmod{n_k} $
有唯一解模 $ N = n_1 n_2 \cdots n_k $。
### 拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换定义：
$ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt $
2. 常用拉普拉斯变换：
$ \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s} $
$ \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} $
$ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} $
$ \mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2} $
$ \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2} $
### 傅里叶变换
1. 傅里叶变换定义：
$ \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt $
2. 常用傅里叶变换：
$ \mathcal{F}\{1\} = 2\pi \delta(\omega) $
$ \mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1 $
$ \mathcal{F}\{e^{iat}\} = 2\pi \delta(\omega - a) $
$ \mathcal{F}\{\cos(at)\} = \pi [\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)] $
$ \mathcal{F}\{\sin(at)\} = i\pi [\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)] $
如果你对某一领域或某一类型的公式有特别的兴趣，请告诉我，我可以提供更详细的信息。
