利用两个重要极限求下列极限

时间: 2024-10-18 16:47:11

好的，以下是10个利用两个重要极限（$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 和 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$）求极限的例题。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$

解：

$= 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}$

解：

$= 5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}$

解：

利用 $\tan(x) \approx \sin(x)$ 及 $\cos(x) \approx 1$ 近似，

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)} = 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$

解：

$= 2 \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$

解：

$= 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$

解：

$= 3 \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}$

解：

$= \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \quad (u = x^2)$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

解：

$= 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}$

解：

$= 4 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{4x} = 4 \cdot 1 = 4$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-2x} - 1}{x}$

解：

$= -2 \lim_{x \to 0} \frac{e^{-2x} - 1}{-2x} = -2 \cdot 1 = -2$

希望这些例题对你有帮助！如果你有特定的问题或者需要更详细的解题过程，请告诉我！