高中数学 椭圆例题
时间: 2024-10-28 03:51:06
在高中数学中，椭圆是一个重要的几何概念，通常以标准形式的方程来表示。以下是一些关于椭圆的基本知识及例题。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程有两种形式：
1. $ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ （当椭圆的长轴平行于 x 轴）
- 其中，$ (h, k) $ 是椭圆的中心，$ a $ 是长半轴，$ b $ 是短半轴。
2. $ \frac{(y - k)^2}{a^2} + \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 $ （当椭圆的长轴平行于 y 轴）
椭圆的基本性质
- 焦点：距离中心距离为 $ c $ 的点，其中 $ c=\sqrt{a^2-b^2} $。
- 过焦点的点，称为椭圆的焦点，分别为 $ (h \pm c, k) $ （长轴平行于 x 轴）或 $ (h, k \pm c) $ （长轴平行于 y 轴）。
- 可以根据方程、焦点和顶点的坐标来求解相关问题。
示例题目
例题 1
已知椭圆的方程为 $ \frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1 $。求椭圆的中心、长半轴和短半轴的长度、焦点的位置。
解答：
- 中心 $ (h, k) = (2, -1) $
- 长半轴 $ a = 3 $（因为 $ a^2 = 9 $）
- 短半轴 $ b = 2 $（因为 $ b^2 = 4 $）
- 计算焦距：
$ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} $
- 焦点位置为 $ (h \pm c, k) = (2 \pm \sqrt{5}, -1) $，即焦点为 $ (2 + \sqrt{5}, -1) $ 和 $ (2 - \sqrt{5}, -1) $。
例题 2
求椭圆的方程，已知焦点为 $ (0, \pm 3) $，长轴长为 10。
解答：
- 焦点到中心的距离 $ c = 3 $，长轴 $ 2a = 10 $ 所以 $ a = 5 $。
- 由 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $ 可得：
$ 3 = \sqrt{5^2 - b^2} \implies 9 = 25 - b^2 \implies b^2 = 16 \implies b = 4 $
- 椭圆的标准方程为：
$ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \implies \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
例题 3
求椭圆与直线的交点：椭圆的方程为 $ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 $，直线的方程为 $ y = x - 3 $。
解答：
1. 将直线方程代入椭圆方程：
$ \frac{x^2}{16} + \frac{(x-3)^2}{9} = 1 $
2. 展开并化简：
$ \frac{x^2}{16} + \frac{x^2 - 6x + 9}{9} = 1 $
$ \frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{9} - \frac{2}{3}x + 1 = 1 $
$ \frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{9} - \frac{2}{3}x = 0 $
3. 将方程全部乘以 $144$（最小公倍数）消去分母：
$ 9x^2 + 16x^2 - 96x = 0 $
$ 25x^2 - 96x = 0 $
$ x(25x - 96) = 0 $
所以 $ x = 0 $ 或 $ x = \frac{96}{25} $。
4. 代入得到 $ y $ 的值：
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 - 3 = -3 $。
- 当 $ x = \frac{96}{25} $ 时，代入计算 $ y $。
$ y = \frac{96}{25} - 3 = \frac{96}{25} - \frac{75}{25} = \frac{21}{25} $
所以，交点为 $ (0, -3) $ 和 $ \left( \frac{96}{25}, \frac{21}{25} \right) $。
以上是关于椭圆的几个例题和解答，若有更多具体问题，可以进一步提问！
