牛顿推导万有引力定律过程
下面是简略过程：
牛顿描述了从高山上平抛一个铅球的理想实验，他设想，从高山上将铅球平抛出去，本来应当笔直的前进，可是在重力作用下，它就沿抛物线落到了地面。如果平抛速度增加，它就会落得更远一些，再增加抛出速度，则铅球可能会绕地球半圈。当抛出速度足够大时，铅球就会绕地球一圈、两圈、乃至永远绕地球作圆周运动而不落回到地面上。
只要有一个指向确定中心点的力，又具有足够的初速度，则物体就可作圆周运动。把月球类比于这个铅球，则可知，月球受一个指向确定中心点的力，所以才会作圆周运动。行星也应如此。
开普勒第二定律是说：对于任何一个行星来说，它的矢径（行星到太阳的联线）在任何地点、在相等的时间内，沿轨道所扫过的面积相等。（这条定律也适用于月球绕地球的运行）牛顿则寻找在相等的时间间隔内物体若受一指向确定中心的力的作用。
牛顿接着又证明了这个命题的逆命题，即在任何一曲线上运动的物体，如果它到一确定点的连线在相等时间内扫过相等的面积，则物体受一指向该确定点的向心力。牛顿接着由开普勒第二定律所概括的现象推出行星或卫星受一连续的指向一确定中心的力，并且这个中心就在椭圆的一个焦点上。
牛顿利用了开普勒第一定律，用数学方法证明了（证明过程从略）沿所有圆锥曲线（或双曲线、抛物线、圆、椭圆等）在任何时刻的向心力必定与该物体到焦点的距离平方成反比，其数学形式为
$F＝c/R^2$
即──向心力定律。式中，R是从该物体中心到椭圆焦点的距离，c为该物体的一个常数。
牛顿由开普勒第三定律进一步推知向心力平方反比定律。其数学推导为：设某一行星的质量为m，行星的运行轨道近似圆（由于行星椭圆轨道的偏心率很小，如地球为0.0167，因而其轨道可近似看作圆）根据开普勒第二定律，可将行星视为匀速圆周运动由牛顿第二定律。
$ F = ma = m\frac{v^2}{R} = m\omega^2 R = m\frac{4\pi^2}{T^2}R $
再由开普勒第三定律$T^2= kR^3$ 代入上式得
$F=\frac{4\pi^2 m}{kR^2} $
令 $\mu = \frac{4\pi^2}{k}$ ，得 $F=\mu \frac{m}{R^2} $
式中μ是一个与行星无关而只与太阳的性质有关的量，称为太阳的高斯常数；m 为行星质量。由上式可知：引力与行星的质量成正比。
牛顿通过研究引力使不同大小的物体同时落地和同磁力的类比，得出引力的大小与被吸引物体的质量成正比，从而把质量引进了万有引力定律。
牛顿又进一步用实验作了验证：他用摆做了一系列实验，实验的结果以千分之一的准确度表明，对于各种不同的物质，万有引力与质量的比例始终是一个常数。
牛顿又接着作了大胆的假设，行星受到的引力与太阳的质量有关，并用数学作了推证地球对一切物体包括太阳的引力应为
$F={\mu}'\frac{M}{R^2} $
（${\mu}'$为地球的高斯常数，M为太阳的质量），太阳对地球的引力为
$F={\mu}\frac{m}{R^2} $
（式中m是地球的质量，μ是太阳的高斯常数）。
根据牛顿第三定律有：$F＝F'$即
$\frac{\mu}{M} = \frac{\mu'}{m} = G$
这是一个与地球和太阳的性质都无关的恒量，所以引力的平方反比定律的数学形式为
$F=G\frac{Mm}{R^2}$
牛顿首先由月球运行情况探讨了使月球保持轨道运行的力与重力之间的关系。由平方反比定律可知，月球受一指向地球的力的作用，它与月球到地心距离的平方成反比。通过数学计算和实验验证，牛顿得到了月球受的向心力就是重力的结论，这样牛顿就把地面落体运动的原因和月球运行的原因归于同一了。
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