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张量相关运算符及解释

时间: 2024-10-10 12:05:46

张量是线性代数中多维数据的扩展形式,用于表示标量、向量、矩阵及更高维数据结构。以下是常见的张量相关运算符及其解释:


1. 加法与减法

   - 符号+-

   - 解释:张量的加法与减法是在相同形状的张量上进行元素级操作。张量的每个元素分别与对应位置的元素相加或相减。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$


2. 标量乘法

   - 符号*

   - 解释:张量与标量的乘法是将标量与张量的每个元素进行相乘。

   - 示例

$\text{标量} \times A = 2 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$


3. 点积(内积)

   - 符号·dot

   - 解释:张量的点积是将两个相同大小的一维张量(向量)的对应元素相乘并累加得到一个标量。对于矩阵,可以使用行向量和列向量的点积。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11$


4. 矩阵乘法

   - 符号*

   - 解释:矩阵乘法是将第一个矩阵的行向量与第二个矩阵的列向量做点积。要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$A * B = \begin{pmatrix} 1*5 + 2*7 & 1*6 + 2*8 \\ 3*5 + 4*7 & 3*6 + 4*8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$


5. 爱因斯坦求和约定(Einstein Summation Convention, einsum

   - 符号einsum

   - 解释:用于简化复杂张量的求和运算,特别适合高维张量的运算。通过指定张量索引来执行求和、转置、矩阵乘法等操作。

   - 示例

$C_{ij} = A_{ik}B_{kj}$

     这个公式可以通过 einsum('ik,kj->ij', A, B) 来实现。


6. Kronecker积

   - 符号

   - 解释:Kronecker积是张量外积的推广,将两个矩阵生成一个更大维度的矩阵,每个元素都被扩展为原矩阵的块。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$

$A ⊗ B = \begin{pmatrix} aB & bB \\ cB & dB \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af & be & bf \\ ag & ah & bg & bh \\ ce & cf & de & df \\ cg & ch & dg & dh \end{pmatrix}$


7. 转置

   - 符号T

   - 解释:张量的转置是将张量的行和列交换,适用于矩阵(二维张量)。更高阶的张量可以对多个轴进行转置。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$


8. Hadamard积

   - 符号

   - 解释:这是张量元素级的乘法运算,即对应元素相乘。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$A ⊙ B = \begin{pmatrix} 1*5 & 2*6 \\ 3*7 & 4*8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ 21 & 32 \end{pmatrix}$


9. 张量积(外积)

   - 符号

   - 解释:张量积是将两个张量的所有可能元素组合形成一个更高阶的张量。

   - 示例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$

$A \otimes B = \begin{pmatrix} 1*3 & 1*4 \\ 2*3 & 2*4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$


10. 收缩

   - 符号sumtrace

   - 解释:对张量沿某个轴或某几个轴进行求和或求迹的操作。

   - 示例

$\text{sum}(A) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

$\text{trace}(A) = 1 + 4 = 5$


这些运算符可以组合使用,完成各种复杂的张量操作,广泛应用于物理学、机器学习和深度学习领域。


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