3比特量子态经过3个Hadamard门

时间: 2024-09-20 04:54:40

好的，我们来详细推导一下3比特量子态经过3个Hadamard门（$H$ 门）的张量积操作后形成的叠加态。

1. 单个 Hadamard 门的作用

Hadamard 门 $H$ 的作用是：

$    H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) $

$    H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) $

2. 对3个比特的张量积

对3个比特应用3个 Hadamard 门，即 $H \otimes H \otimes H$，会将每个比特都变成叠加态。

我们从初态 $|000\rangle$ 开始。应用 $H \otimes H \otimes H$ 到 $|000\rangle$ 上，我们得到：

$    (H \otimes H \otimes H) |000\rangle $

可以分步计算：

2.1. 计算第一个 $ H $ 门对 $|000\rangle$ 的作用：

$    H \otimes I \otimes I (|000\rangle) = (H |0\rangle) \otimes (I |0\rangle) \otimes (I |0\rangle) $

$    = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \otimes |0\rangle \otimes |0\rangle $

$    = \frac{1}{\sqrt{2}} (|000\rangle + |100\rangle) $

2.2. 计算第二个 $ H $ 门对结果的作用：

$    \frac{1}{\sqrt{2}} (H \otimes I) (|000\rangle + |100\rangle) $

$    = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \otimes |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \otimes |0\rangle \right] $

$    = \frac{1}{2} \left[ (|00\rangle + |10\rangle) + (|01\rangle + |11\rangle) \right] $

$    = \frac{1}{2} \left[ |000\rangle + |001\rangle + |100\rangle + |101\rangle \right] $

2.3. 计算第三个 $ H $ 门对结果的作用：

$    \frac{1}{2} (H \otimes H) (|000\rangle + |001\rangle + |100\rangle + |101\rangle) $

$    = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \right] $

3. 公式总结

经过3个 Hadamard 门的作用，3比特的叠加态是：

$    \frac{1}{2^{3/2}} \left[ |000\rangle + |001\rangle + |010\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle + |110\rangle + |111\rangle \right] $

这里的系数 $\frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{8}}$ 是因为每个 Hadamard 门都会对叠加态的幅度进行缩放。

所以最终结果就是每个可能状态的幅度都相等的叠加态，其中每个状态的幅度为 $\frac{1}{2^{3/2}}$。