预言机用到了哪些门，每一步如何状态或计算

时间: 2024-10-10 13:02:55

为了说明在预言机操作中用到的门以及每一步如何改变量子态，我们可以分步骤详细说明从量子态初始化到符号取反的整个量子线路操作。假设目标态是 $|11\rangle$，我们将详细说明各个量子门的作用及其对量子态的影响。

假设我们有两个量子比特，初始状态通常是 $|00\rangle$：

$|\psi_0\rangle = |00\rangle$

为了让系统进入所有可能的状态，我们在每个量子比特上应用 Hadamard 门。Hadamard 门会将 $|0\rangle$ 变成 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$，作用于两个量子比特后，系统变成一个叠加态：

$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

对于两个量子比特，Hadamard 门的作用结果是：

$|\psi_1\rangle = H \otimes H |00\rangle = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$

此时，系统处于四个基础态的等幅叠加态。

预言机的目标是将目标态 $|11\rangle$ 的符号取反，而保持其他态不变。我们可以通过 受控-Z 门（Controlled-Z Gate） 来实现这一操作。

受控-Z 门的作用是：当控制比特和目标比特都处于 $|1\rangle$ 时，执行相位翻转，将 $|11\rangle$ 的符号取反。其作用如下：

$CZ|00\rangle = |00\rangle$

$CZ|01\rangle = |01\rangle$

$CZ|10\rangle = |10\rangle$

$CZ|11\rangle = -|11\rangle$

因此，应用受控-Z 门后，系统态变为：

$|\psi_2\rangle = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle)$

现在，目标态 $|11\rangle$ 的符号被取反，而其他态保持不变。

在 Grover 算法中，通常在预言机操作之后会应用扩散操作（也称为反射操作），该操作的目的是放大目标态的振幅，使其在最终测量时更容易被找到。

扩散操作是对整个系统的一种相位反转和叠加态反转操作，它会将系统的平均值与个别量子态的振幅进行比较，并使目标态的振幅进一步增加。

经过预言机和扩散操作，目标态 $|11\rangle$ 的振幅会被放大。我们最终可以通过测量系统的状态，找到目标态 $|11\rangle$ 的概率大大增加。

1. Hadamard 门（H 门）：将每个量子比特从 $|0\rangle$ 转化为叠加态，生成所有可能输入的均匀叠加。

2. 受控-Z 门（CZ 门）：在识别到目标态（如 $|11\rangle$）时，对其执行符号取反。

3. （可选）扩散操作：增加目标态的振幅。

1. 初始态：$|00\rangle$

2. Hadamard 门作用后的叠加态：$\frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$

3. 受控-Z 门作用后的态：$\frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle)$

4. （可选）扩散操作后的态：目标态的振幅会进一步增强。

通过这些步骤，特定态（如 $|11\rangle$）的符号被成功取反，而其他态保持不变。